4 Ступенчатый вид, главные и свободные переменные

Ступенчатый вид, главные и свободные переменные

Прямой ход метода Гаусса не создаёт нули бессистемно. Его цель — получить форму, в которой каждое следующее уравнение начинается с более поздней неизвестной. Такая форма напоминает лестницу и позволяет читать структуру решений.

Например, матрица

ступенчатая: ведущие элементы находятся в первом и третьем столбцах и образуют видимую «лестницу».

Существует и более строгая форма матрицы, в которой ведущие элементы дополнительно приводят к единицам и зануляют числа над ними. К ней вернёмся после прямого хода метода Гаусса.

Вертикальная черта и столбец правых частей не соответствуют неизвестной. Если ведущий элемент появился справа от черты, это не создаёт новую главную переменную, а обнаруживает противоречие.

Теперь цель прямого хода сформулирована точно: получить ступенчатую матрицу, увидеть ведущие столбцы и определить, какие переменные останутся свободными.