6 Улучшенный ступенчатый вид и строковый обратный ход

Улучшенный ступенчатый вид и строковый обратный ход

Обратную подстановку можно заменить строковым обратным ходом: сделать ведущие элементы единицами и создать нули над ними.

Матрица находится в улучшенном ступенчатом виде, если она уже имеет ступенчатый вид, каждый ведущий элемент равен $1$ , а все остальные элементы в его столбце равны нулю. Если после прямого хода продолжить строковые преобразования до улучшенного ступенчатого вида, получаем метод Гаусса–Жордана. Из улучшенной матрицы значения главных переменных читаются непосредственно.

Сначала сделаем каждый ведущий элемент равным $1$ . Такое преобразование будем называть нормировкой строки: строку делят на её ненулевой ведущий элемент.

Продолжим предыдущий пример. После прямого хода была получена матрица

Сначала нормируем третью строку, затем создадим нули над её ведущей единицей:

R_3\leftarrow-\frac17R_3 \qquad R_2\leftarrow R_2+2R_3 \qquad R_1\leftarrow R_1-R_3

Получаем

Осталось исключить $y$ из первой строки:

R_1\leftarrow R_1-R_2

Теперь решение читается непосредственно: $x=1$ , $y=2$ , $z=3$ .

Посмотрим, как улучшенный ступенчатый вид работает при свободных переменных. Возьмём ступенчатую матрицу, которую подробно получим в следующем примере:

В столбце $z$ над ведущей единицей стоит $-1$ , поэтому выполним

R_1\leftarrow R_1+R_2

и получим

Теперь матрица имеет улучшенный ступенчатый вид. Переменные $y,w$ свободные, а значения главных переменных читаются непосредственно:

x=4-2y-2w \qquad z=3-w.

Почему выбор ведущего элемента требует тренировки.

В разобранном примере с единственным решением во второй строке стоял кандидат $-3$ , но ниже находилась удобная единица: перестановка строк не была обязательной, однако избавила вычисления от лишних дробей. В только что рассмотренной матрице после ведущего элемента в столбце $x$ оставшаяся часть столбца $y$ состояла из нулей, поэтому этот столбец пришлось пропустить и выбрать следующий ведущий элемент в столбце $z$ . В первом случае перестановка была удобным выбором, во втором переход правее был необходим. Делить строку на ноль нельзя.

Само правило короткое; трудность начинается тогда, когда подходящее преобразование не подсказано и нужно одновременно сохранять эквивалентность системы и удерживать вычисления простыми. На курсе Максима Горбачёва по линейной алгебре в онлайн-школе «Профиматика» этот выбор отрабатывается на системах с разным расположением нулей и без заранее указанного маршрута, чтобы следующий шаг определялся структурой матрицы, а не случайной догадкой.

Маршрут	Что делаем	Когда удобно
Гаусс с подстановкой	Прямой ход до ступенчатого вида, затем подстановка снизу вверх	Когда нужно решить одну систему и вычисления легко читаются
Гаусс–Жордан	После прямого хода зануляем элементы над ведущими и получаем улучшенный вид	Когда нужно непосредственно выразить главные переменные через свободные и параметры

Оба маршрута сохраняют множество решений. Улучшенный ступенчатый вид даёт более явную запись ответа, но может потребовать больше строковых операций.