7 Количество решений и параметрическое описание

Количество решений и параметрическое описание

После приведения к ступенчатому виду неизвестные делятся на главные и свободные. Именно это разделение показывает, будет ли решение единственным или в ответе появятся параметры.

Пример

Опишем все решения системы

\begin{cases} x+2y-z+w=1\\ 2x+4y-z+3w=5 \end{cases}

Её расширенная матрица равна

Выполним преобразование $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ :

После выбора ведущего элемента в столбце $x$ переходим ко второй строке и проверяем столбец $y$ . В оставшейся части этого столбца стоит только ноль, поэтому выбрать ведущий элемент в столбце $y$ нельзя: пропускаем его и идём правее. В столбце $z$ стоит $1$ , она и становится ведущим элементом второй строки. Значит, $y$ свободна; ниже строк больше нет, поэтому столбец $w$ также не может получить ведущий элемент и $w$ тоже свободна.

Ведущие элементы стоят в столбцах $x$ и $z$ , поэтому $x,z$ — главные переменные, а $y,w$ — свободные.

Ступенчатой матрице соответствует система

\begin{cases} x+2y-z+w=1\\ z+w=3 \end{cases}

Свободные переменные могут принимать любые действительные значения. Обозначим

y=s \qquad w=t \qquad s,t\in\mathbb{R}

Числа $s$ и $t$ называют параметрами: их значения можно выбирать произвольно, а после выбора параметров значения главных переменных уже определяются.

Из второго уравнения

z=3-t

Подставляем это выражение в первое:

x+2s-(3-t)+t=1 \quad\Longrightarrow\quad x=4-2s-2t

Итак, все решения имеют вид

\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4-2s-2t\\s\\3-t\\t\end{pmatrix} \qquad s,t\in\mathbb{R}

Ту же запись можно разделить на постоянную и параметрические части:

\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\0\\3\\0\end{pmatrix} +s \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix} +t \begin{pmatrix}-2\\0\\-1\\1\end{pmatrix} \qquad s,t\in\mathbb{R}

Каждой паре $(s,t)$ соответствует ровно одно решение. Например, при $s=1$ , $t=-1$ получаем $(4,1,4,-1)$ . Подстановка подтверждает:

4+2-4-1=1 \qquad 8+4-4-3=5

Почему ответ распадается на постоянную часть и направления.

Этот блок объясняет более глубокий смысл параметрической записи. Для решения систем достаточно уметь находить параметры; к этому объяснению можно вернуться после первого прохождения статьи.

Здесь и далее под вектором достаточно понимать столбец чисел; общей теории векторных пространств нам пока не требуется.

Вектор

\mathbf{x}_0=\begin{pmatrix}4\\0\\3\\0\end{pmatrix}

— одно частное, то есть одно конкретное, решение исходной системы $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ : он получается при $s=t=0$ . Два направляющих вектора

\mathbf{u}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix} \qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\\1\end{pmatrix}

решают систему с той же матрицей коэффициентов и нулевой правой частью: $A\mathbf{u}=\mathbf{0}$ и $A\mathbf{v}=\mathbf{0}$ . Они показывают направления, в которых решение можно изменять, не меняя правую часть. В следующем разделе такие системы назовём однородными. Поэтому

A(\mathbf{x}_0+s\mathbf{u}+t\mathbf{v}) =A\mathbf{x}_0+sA\mathbf{u}+tA\mathbf{v} =\mathbf{b}

В общем случае, если $\mathbf{x}_0$ — одно решение $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , то все решения получаются прибавлением к $\mathbf{x}_0$ решений системы $A\mathbf{u}=\mathbf{0}$ . И наоборот: для двух решений $\mathbf{x}$ и $\mathbf{x}_0$ их разность удовлетворяет $A(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)=\mathbf{0}$ .

\boxed{ \mathbf{x}=\mathbf{x}_0+\mathbf{u}, \qquad A\mathbf{u}=\mathbf{0} }

Сложность не в буквах $s,t$ , а в том, чтобы не потерять решения: определить свободные переменные, выразить через них главные и сохранить все направления. Этот навык нужно отдельно отрабатывать при другом расположении ведущих элементов.

На курсе Максима Горбачёва этот переход от одного найденного решения к полному описанию множества решений выстраивается последовательно: материал закрепляется разнообразными задачами без заранее названного метода, домашними заданиями и отдельными файлами с подробными решениями, а вопросы можно разбирать в чате с учениками и преподавателями. Цель такой практики — научиться самостоятельно получать и проверять именно все решения системы, в том числе в задачах контрольных работ и сессии.

Три возможных исхода

Метод Гаусса не предполагает заранее, что решение существует или единственно. Ответ определяется тем, что произошло при исключении переменных.

Что видно в ступенчатой матрице	Количество решений	Почему
Есть строка $(0\ \cdots\ 0\mid c)$ , где $c\ne0$	Нет решений	Получено невозможное равенство $0=c$
Противоречия нет, все переменные главные	Одно решение	Обратный ход однозначно определяет каждую переменную
Противоречия нет, есть хотя бы одна свободная переменная	Бесконечно много решений	Свободные параметры могут принимать произвольные значения из $\mathbb{R}$

Другого конечного числа решений быть не может. Если появилась строка $0=c$ , где $c\ne0$ , решений нет. Если противоречия нет и все переменные главные, обратный ход определяет их однозначно. Если же есть хотя бы одна свободная переменная, свободным параметрам можно придавать значения из бесконечного множества $\mathbb{R}$ ; каждый набор значений этих параметров даёт решение. Поэтому совместная система имеет либо ровно одно, либо бесконечно много решений.

Число уравнений само по себе не определяет число решений. Три уравнения могут повторять одно и то же условие, а два уравнения могут противоречить друг другу. Решающий признак виден только после анализа ступенчатой матрицы.