2 СЛАУ и матричная запись

СЛАУ и матричная запись

Одно уравнение задаёт одно условие на неизвестные. В системе несколько условий должны выполняться одновременно. Например, для системы из двух уравнений с двумя неизвестными $x,y$ пара $(x,y)$ является решением только тогда, когда она подходит к каждому уравнению.

Слово «линейная» означает, что левая часть каждого уравнения представляет собой сумму вида $a_1x_1+\cdots+a_nx_n$ , где коэффициенты $a_i$ — числа. Неизвестные не перемножаются, не возводятся в другие степени, не стоят в знаменателях и не находятся внутри функций. Например, уравнения $x^2+y=1$ и $xy=2$ уже не являются линейными.

Индекс $i$ у коэффициента $a_{ij}$ указывает номер уравнения, а индекс $j$ — номер неизвестной. Поэтому коэффициенты при $x_j$ образуют $j$ -й столбец матрицы системы.

Что значит решить систему.

Нужно описать все наборы, удовлетворяющие каждому уравнению, или доказать, что таких наборов нет. Уже одно уравнение $ax=b$ показывает три возможных исхода:

\begin{array}{ccl} a\ne0 &\Longrightarrow& x=\dfrac{b}{a}\quad\text{--- одно решение}\\[4pt] a=0,\ b\ne0 &\Longrightarrow& 0=b\quad\text{--- решений нет}\\[4pt] a=0,\ b=0 &\Longrightarrow& 0=0\quad\text{--- подходит любое }x \end{array}

Метод Гаусса научит распознавать те же три исхода для системы с любым конечным числом уравнений и неизвестных.

С системой связаны матрица коэффициентов $A$ , столбец неизвестных $\mathbf{x}$ , столбец правых частей $\mathbf{b}$ и расширенная матрица $(A\mid\mathbf{b})$ . Сначала запишем первые три объекта:

A= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix} \qquad \mathbf{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \qquad \mathbf{b}= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}

Матрица $A$ называется матрицей коэффициентов, а матрица

— расширенной матрицей системы. Вертикальная черта отделяет коэффициенты от правых частей и не является новым столбцом матрицы $A$ .

Вся система кратко записывается равенством

\boxed{A\mathbf{x}=\mathbf{b}}

Размеры согласованы:

\underbrace{A}_{m\times n} \underbrace{\mathbf{x}}_{n\times1} = \underbrace{\mathbf{b}}_{m\times1}

Каждый элемент столбца $A\mathbf{x}$ равен левой части соответствующего уравнения.

Пример

Рассмотрим систему

\begin{cases} 2x-y+3z=5\\ -x+4y+2z=1 \end{cases}

Порядок неизвестных фиксируем как $x,y,z$ . Тогда

A= \begin{pmatrix} 2&-1&3\\ -1&4&2 \end{pmatrix} \qquad \mathbf{x}= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \qquad \mathbf{b}= \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}

и расширенная матрица имеет вид

Проверим набор $(1,0,1)$ . Подстановка в исходную систему даёт

2\cdot1-0+3\cdot1=5 \qquad -1+4\cdot0+2\cdot1=1

Оба равенства верны, поэтому $(1,0,1)$ — решение. В матричной форме та же проверка записывается как

A \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix} =\mathbf{b}