3 Что гарантирует непрерывность на отрезке

Что гарантирует непрерывность на отрезке

Начнём с двух теорем Вейерштрасса. Они относятся не к производной, а к непрерывности, но именно они позволяют уверенно говорить о существовании наибольшего и наименьшего значений на отрезке.

Ограниченность означает, что значения функции на всём отрезке помещаются между двумя горизонтальными уровнями. Здесь $m$ и $M$ — это пока только подходящие нижняя и верхняя границы. Первая теорема сама по себе ещё не утверждает, что функция обязательно принимает именно эти значения.

В этом случае

\max_{x\in[a,b]}f(x)=f(x_{\max}), \qquad \min_{x\in[a,b]}f(x)=f(x_{\min})

Нижняя запись $x\in[a,b]$ показывает, среди каких значений $x$ ищется максимум или минимум.

Вторая теорема усиливает первую: теперь речь не просто о каких-то верхней и нижней границах, а о значениях, которые функция действительно принимает на отрезке.

LaTeX — Непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений

Обратите внимание: точки $x_{\max}$ и $x_{\min}$ могут находиться как внутри отрезка, так и на его концах. Теорема Вейерштрасса не обещает внутреннюю точку экстремума.

Пример

Рассмотрим функцию

f(x)=x^2-2x

на отрезке $[0,3]$ . Полином (многочлен) непрерывен на всей числовой прямой, значит, в частности, непрерывен на $[0,3]$ . По второй теореме Вейерштрасса наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке обязательно существуют.

Найдём их непосредственно. Перепишем функцию в виде

\begin{aligned} f(x) &=x^2-2x\\ &=(x-1)^2-1 \end{aligned}

Квадрат неотрицателен, поэтому

f(x)\ge -1

и равенство достигается при $x=1$ . Значит,

\min_{x\in[0,3]}f(x)=f(1)=-1

Для максимума снова используем ту же форму. Если $x\in[0,3]$ , то

-1\le x-1\le2

поэтому

|x-1|\le2

и, следовательно,

(x-1)^2\le4

Тогда

f(x)=(x-1)^2-1\le3

Равенство достигается при $x=3$ , поэтому

\max_{x\in[0,3]}f(x)=f(3)=3

Этот пример показывает важную деталь: минимум достигнут внутри отрезка, а максимум — на его конце.