4 Локальные и глобальные экстремумы

Локальные и глобальные экстремумы

Теперь аккуратно разведём два понятия, которые легко спутать.

Локальный экстремум описывает поведение функции только рядом с выбранной точкой. Локальный максимум не обязан быть самой высокой точкой всего графика: достаточно, чтобы рядом с $x_0$ не было допустимых значений функции выше $f(x_0)$ . Для локального минимума всё наоборот.

Глобальный экстремум сравнивается уже со всеми значениями функции на рассматриваемом множестве. Поэтому точка может быть локальным максимумом, но не быть глобальным максимумом.

LaTeX — Локальный максимум может быть ниже другого значения функции; глобальный максимум сравнивается со всем рассматриваемым множеством

Теперь запишем эту идею точно.

Определение

Пусть функция $f$ задана на множестве $E$ , а $x_0\in E$ . Здесь $E$ — область определения функции.

Точка $x_0$ называется точкой локального максимума, если существует $\delta>0$ , такое что для каждого $x\in E$ , удовлетворяющего условию

|x-x_0|<\delta

выполняется

f(x)\le f(x_0)

Точка $x_0$ называется точкой локального минимума, если существует $\delta>0$ , такое что для каждого $x\in E$ с $|x-x_0|<\delta$ выполняется

f(x)\ge f(x_0)

Локальные максимумы и минимумы вместе называют локальными экстремумами.

Соберём самую формальную часть определения в короткую расшифровку.

Фрагмент записи	Как читать	Что означает здесь
$x_0\in E$	«икс нулевое принадлежит $E$ »	Точка $x_0$ входит в область определения
$\delta>0$	«дельта больше нуля»	Выбирается некоторый положительный радиус окрестности
$\|x-x_0\|<\delta$	«расстояние от $x$ до $x_0$ меньше дельты»	Рассматриваются достаточно близкие к $x_0$ точки
$f(x)\le f(x_0)$	«эф от икс не больше эф от икс нулевого»	Рядом нет значений выше, чем $f(x_0)$

Число $\delta$ задаёт, насколько близко к $x_0$ мы смотрим: условие $|x-x_0|<\delta$ означает, что расстояние между $x$ и $x_0$ меньше $\delta$ . Сравниваются только точки, которые действительно принадлежат области определения $E$ .

Поэтому локальный экстремум может находиться и на границе области определения. Например, для функции $f(x)=x$ на $[0,1]$ точка $x=0$ является локальным минимумом относительно этого отрезка: среди допустимых точек, достаточно близких к нулю, значения функции не бывают меньше $f(0)=0$ .

В определении стоят нестрогие неравенства. Например, постоянная функция $f(x)=5$ одновременно имеет локальный максимум и локальный минимум в каждой точке своей области определения. Если потребовать строгие знаки $<$ и $>$ для всех соседних точек $x\ne x_0$ , получится более сильное понятие — строгий локальный экстремум.