2 Зачем нужны теоремы о среднем

Зачем нужны теоремы о среднем

Производная описывает поведение функции в одной точке: её значение показывает мгновенный наклон графика. Но во многих задачах информация дана сразу на целом отрезке. Будем считать, что рассматривается отрезок $[a,b]$ , где $a<b$ . Тогда $a$ — левый конец, $b$ — правый конец. Например, известны значения $f(a)$ и $f(b)$ , и хочется понять, что обязательно происходило с функцией между точками $a$ и $b$ .

Теоремы о среднем связывают две картины:

глобальную — как изменилась функция на всём отрезке;
локальную — какое значение принимает производная хотя бы в одной промежуточной точке.

Для геометрического языка нам понадобится секущая: это прямая, проходящая через две точки графика. Если взять точки

A=(a,f(a)) \qquad B=(b,f(b))

то угловой коэффициент секущей $AB$ равен

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Это средний наклон графика между концами отрезка.

Одна из центральных формул темы выглядит так:

f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Она означает: при подходящих условиях найдётся некоторая точка $\xi\in(a,b)$ , в которой мгновенный наклон графика совпадёт со средним наклоном секущей. Буква $\xi$ здесь не обозначает заранее известную точку: теорема гарантирует её существование, а в конкретной задаче подходящие точки затем находят из соответствующего уравнения.

Чтобы дальше не спотыкаться об обозначения промежутков, зафиксируем их смысл.

Фрагмент записи	Как читать	Что означает здесь
$[a,b]$	«отрезок от $a$ до $b$ »	Точки $a$ и $b$ входят
$(a,b)$	«интервал от $a$ до $b$ »	Концы не входят
$\xi\in(a,b)$	«кси принадлежит интервалу»	Точка $\xi$ лежит строго между $a$ и $b$

До этой формулы нам понадобится фундаментальный факт о непрерывности: непрерывная функция на замкнутом отрезке не только остаётся ограниченной, но и действительно достигает своих крайних значений.