6 Теорема Ролля

Теорема Ролля

Представьте график, который начинается и заканчивается на одной высоте. Если функция непрерывна на всём отрезке и гладка внутри, то где-то между концами обязательно появится горизонтальная касательная.

Почему условия нельзя пропускать. Теорема утверждает результат только при одновременном выполнении всех трёх условий. Если удалить одно из них, вывод в общем случае перестаёт быть верным.

Разберём контрпримеры словами.

1. Нет равенства значений на концах. Для \(f(x)=x\) на \([0,1]\) функция непрерывна и дифференцируема, но

во всех точках. Нулевой производной нет.

2. Нет дифференцируемости внутри. Для \(f(x)=|x|\) на \([-1,1]\)

функция непрерывна, но в нуле производная не существует, а во всех остальных точках равна \(-1\) или \(1\). Значения \(0\) производная нигде не принимает.

3. Нет непрерывности на отрезке. Зададим

Тогда \(f(0)=f(1)=0\), функция дифференцируема на \((0,1)\), но на этом интервале

Причина провала теоремы — разрыв в точке \(x=1\).

Идея доказательства теоремы Ролля. По теореме Вейерштрасса непрерывная функция достигает на \([a,b]\) максимума и минимума. Если функция постоянна, то \(f'(x)=0\) в любой внутренней точке. Если она не постоянна, то из равенства \(f(a)=f(b)\) следует, что хотя бы один из глобальных экстремумов достигается во внутренней точке. Там применима теорема Ферма, значит, производная равна нулю.