13 Итог

Итог

Теоремы о среднем связывают значения функции на целом отрезке с производной в некоторой внутренней точке. Теоремы Вейерштрасса гарантируют существование крайних значений, теорема Ферма даёт необходимое условие гладкого внутреннего экстремума, а Ролль, Лагранж и Коши превращают глобальную информацию об отрезке в утверждение о производной.

Главная смысловая схема.

Понятие	Суть
Первая теорема Вейерштрасса	Непрерывная функция на отрезке ограничена.
Вторая теорема Вейерштрасса	Непрерывная функция на отрезке достигает глобального максимума и минимума.
Локальный экстремум	Сравнение только с достаточно близкими значениями функции; в обычном определении используются нестрогие неравенства.
Теорема Ферма	Если внутренний локальный экстремум дифференцируем, то $f'(x_0)=0$ . Обратное утверждение неверно.
Критические точки	Внутренние кандидаты на экстремум: точки с $f'=0$ и точки, где производная не существует.
Теорема Ролля	При $f(a)=f(b)$ , непрерывности на $[a,b]$ и дифференцируемости на $(a,b)$ существует $\xi$ с $f'(\xi)=0$ .
Теорема Лагранжа	Для некоторого $\xi\in(a,b)$ : $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Касательная параллельна секущей через концы.
Знак производной	$f'>0$ ведёт к возрастанию, $f'<0$ — к убыванию. Смена $+\to-$ даёт локальный максимум, $-\to+$ — локальный минимум.
Экстремумы на отрезке	Проверяются внутренние критические точки и оба конца отрезка; затем сравниваются значения функции.
Теорема Коши	В недробной форме: $\bigl(f(b)-f(a)\bigr)g'(\xi)=\bigl(g(b)-g(a)\bigr)f'(\xi)$ . Дробная форма требует ненулевых знаменателей.