8 Монотонность и поиск экстремумов

Монотонность и поиск экстремумов

Теорема Лагранжа позволяет перейти от знака производной к поведению функции на целом промежутке.

Почему это связано с Лагранжем? Возьмём любые $x_1,x_2\in[a,b]$ , где $x_1<x_2$ . Функция непрерывна на $[x_1,x_2]$ и дифференцируема на $(x_1,x_2)$ , поэтому по теореме Лагранжа найдётся точка $\xi\in(x_1,x_2)$ , для которой

f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)

Множитель $x_2-x_1$ положителен, поэтому знак разности значений функции определяется знаком производной в найденной точке. Так рассуждение охватывает и случаи, когда $x_1=a$ или $x_2=b$ .

Отсюда получается практический признак локального экстремума. Под проколотой окрестностью точки $x_0$ ниже понимаются достаточно близкие к $x_0$ точки, кроме самой точки $x_0$ .

Теорема

Первый признак локального экстремума. Пусть $x_0$ — внутренняя точка области определения, функция $f$ непрерывна в $x_0$ и дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки.

Если существует $\delta>0$ , такое что

f'(x)>0 \quad \text{при } x\in(x_0-\delta,x_0)

f'(x)<0 \quad \text{при } x\in(x_0,x_0+\delta)

то $x_0$ — точка локального максимума.

Если знаки расположены наоборот: слева $f'(x)<0$ , а справа $f'(x)>0$ , то $x_0$ — точка локального минимума. Если производная имеет один и тот же строгий знак по обе стороны от $x_0$ , локального экстремума в этой точке нет.

Простыми словами: знак $f'>0$ означает, что функция возрастает, а $f'<0$ — что убывает. Поэтому переход

+\longrightarrow-

означает «поднимались, затем начали спускаться» — получается максимум. Переход

-\longrightarrow+

означает «спускались, затем начали подниматься» — получается минимум.

Пример

Исследуем локальные экстремумы функции

f(x)=x^3-3x^2+1

Шаг 1. Находим производную.

\begin{aligned} f'(x) &=3x^2-6x\\ &=3x(x-2) \end{aligned}

Шаг 2. Находим стационарные точки.

3x(x-2)=0

откуда

x=0 \qquad \text{или} \qquad x=2

Шаг 3. Определяем знак производной на промежутках.

Если $x<0$ , оба множителя $x$ и $x-2$ отрицательны, поэтому $f'(x)>0$ .

Если $0<x<2$ , то $x>0$ , но $x-2<0$ , поэтому $f'(x)<0$ .

Если $x>2$ , оба множителя положительны, поэтому $f'(x)>0$ .

Получаем схему

В точке $x=0$ знак меняется с $+$ на $-$ , поэтому это локальный максимум. В точке $x=2$ знак меняется с $-$ на $+$ , поэтому это локальный минимум.

Шаг 4. Находим значения функции.

f(0)=1

f(2)=8-12+1=-3

Итак,

x=0\text{ --- точка локального максимума},\quad f(0)=1

x=2\text{ --- точка локального минимума},\quad f(2)=-3

LaTeX — Знак производной показывает, как функция проходит через критическую точку

Для глобальных экстремумов на отрезке нужно дополнительно проверить концы отрезка.

Пример

Для той же функции

f(x)=x^3-3x^2+1

найдём глобальные экстремумы на отрезке $[-1,3]$ .

Функция непрерывна, поэтому по теореме Вейерштрасса наибольшее и наименьшее значения существуют.

Внутренние критические точки уже найдены:

x=0, \qquad x=2

Обе лежат в $(-1,3)$ . Теперь вычисляем значения во всех кандидатах, включая концы:

\begin{aligned} f(-1)&=-1-3+1=-3,\\ f(0)&=1,\\ f(2)&=8-12+1=-3,\\ f(3)&=27-27+1=1 \end{aligned}

Следовательно,

\max_{x\in[-1,3]}f(x)=1

и это значение достигается при $x=0$ и $x=3$ . Аналогично

\min_{x\in[-1,3]}f(x)=-3

и оно достигается при $x=-1$ и $x=2$ .

Этот пример показывает сразу две важные особенности: глобальный экстремум может достигаться в нескольких точках, а концы отрезка нельзя исключать из проверки.