Теорема Ролля требует равенства \(f(a)=f(b)\). Если концы графика лежат на разной высоте, горизонтальной касательной может не быть. Но появляется более общий факт: найдётся касательная, параллельная секущей через концы графика.
Правая часть — угловой коэффициент секущей, соединяющей точки
\[A=(a,f(a))
\qquad
B=(b,f(b))\]
Теорема утверждает, что хотя бы в одной внутренней точке касательная имеет точно такой же наклон.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Если \(f(a)=f(b)\), то правая часть равна нулю, и теорема Лагранжа превращается в теорему Ролля.
Идея доказательства. Проведём секущую через концы графика и вычтем из \(f\) соответствующую линейную функцию. Например, рассмотрим
К функции \(F\) можно применить теорему Ролля. В некоторой точке \(\xi\in(a,b)\) получим \(F'(\xi)=0\), а это и даёт равенство наклона касательной среднему наклону секущей.
