Если график гладко поднимается к вершине, а затем начинает опускаться, в самой вершине касательная должна стать горизонтальной. Это наблюдение формализует теорема Ферма.
Главная практическая роль теоремы Ферма такова: она не находит экстремум автоматически, а помогает сузить множество мест, где его нужно искать. Если внутренний локальный экстремум существует и функция в этой точке дифференцируема, производная обязана обратиться в ноль.
Именно поэтому равенство \(f'(x_0)=0\) называют необходимым условием: без него в такой ситуации экстремума быть не может. Но обратный вывод неверен — нулевая производная сама по себе ещё не доказывает экстремум.
Идея механизма. Пусть, например, в \(x_0\) локальный минимум. Тогда для малых \(h\)
\[f(x_0+h)-f(x_0)\ge0\]
Если \(h>0\), то
\[\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\ge0\]
а если \(h<0\), знак при делении меняется и
\[\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le0\]
Чтобы общий двусторонний предел этих разностных отношений существовал, левый и правый пределы должны совпасть. Единственное число, которое одновременно неотрицательно и неположительно, — ноль. Для максимума рассуждение аналогично.
Три ситуации, которые важно различать при использовании теоремы Ферма
Первый контрпример к обратному утверждению:
\[f(x)=x^3,
\qquad
f'(x)=3x^2,
\qquad
f'(0)=0\]
Но при \(x<0\) имеем \(x^3<0=f(0)\), а при \(x>0\) — \(x^3>0=f(0)\). Значит, в любой окрестности нуля есть значения и меньше, и больше \(f(0)\). Экстремума нет.
Второй важный пример:
\[f(x)=|x|\]
В точке \(x=0\) функция имеет локальный и глобальный минимум, но обычная производная не существует: левый наклон равен \(-1\), правый — \(1\). Значит, искать экстремумы только среди решений уравнения \(f'(x)=0\) нельзя.
