9 Теорема Коши

Теорема Коши

Теорема Лагранжа сравнивает изменение функции \(f\) с изменением самого аргумента \(x\). Теорема Коши делает следующий шаг: вместо изменения \(x\) она позволяет сравнить изменение \(f\) с изменением второй функции \(g\). Поэтому этот раздел немного абстрактнее предыдущих, но идея остаётся той же — связать изменения на всём отрезке с производными в одной внутренней точке.

Сначала сформулируем теорему в форме, где не требуется делить на величины, которые потенциально могут оказаться нулевыми.

В формуле Коши величины \(f(b)-f(a)\) и \(g(b)-g(a)\) описывают изменения двух функций на одном и том же отрезке. Самая важная деталь записи — производные \(f'(\xi)\) и \(g'(\xi)\) берутся в одной и той же внутренней точке \(\xi\). Именно это отличает теорему Коши от двух независимых применений теоремы Лагранжа.

Это базовая форма теоремы Коши. Она остаётся осмысленной даже тогда, когда \(g(b)=g(a)\) или \(g'(\xi)=0\), потому что в ней нет деления.

Если дополнительно известно, что

\[g'(x)\ne0 \qquad \text{для всех }x\in(a,b)\]

то по теореме Ролля обязательно

\[g(b)\ne g(a)\]

Действительно, если бы \(g(a)=g(b)\), теорема Ролля дала бы внутреннюю точку, где \(g'=0\), что противоречит условию.

При этом дополнительном условии можно безопасно разделить равенство из теоремы Коши и получить дробную форму:

\[\boxed{ \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} }\]

Связь с теоремой Лагранжа. Возьмём

\[g(x)=x\]

Тогда \(g'(x)=1\), а

\[g(b)-g(a)=b-a\]

Теорема Коши принимает вид:

\[f(b)-f(a)=(b-a)f'(\xi)\]

то есть

\[f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Следовательно, теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

Где возникает типичная ошибка. Иногда пытаются применить Лагранжа отдельно к \(f\) и \(g\):

\[f(b)-f(a)=f'(\xi_1)(b-a)\]
\[g(b)-g(a)=g'(\xi_2)(b-a)\]

После деления получится

\[\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)}\]

Но теорема Коши требует одну и ту же точку \(\xi\) в обеих производных. Теорема Лагранжа, применённая по отдельности, не гарантирует \(\xi_1=\xi_2\). Значит, такой способ доказательства не работает.

Важно сформулировать вывод точно: неверно говорить, что «из теоремы Лагранжа вообще нельзя получить теорему Коши». Ошибочен именно наивный способ с двумя независимыми точками. Правильное доказательство использует специально построенную вспомогательную функцию и теорему Ролля.

Идея доказательства. Рассматривают функцию

\[\begin{aligned} H(x) ={}&\bigl(f(b)-f(a)\bigr)\bigl(g(x)-g(a)\bigr)\\ &-\bigl(g(b)-g(a)\bigr)\bigl(f(x)-f(a)\bigr) \end{aligned}\]

Для неё выполняется

\[H(a)=H(b)=0\]

По теореме Ролля найдётся \(\xi\in(a,b)\), где \(H'(\xi)=0\). После дифференцирования получается ровно недробная формула теоремы Коши.