8 Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности

Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности

Теперь можно точно сформулировать результат, ради которого мы вводили и грани, и монотонность.

Простыми словами. Если значения могут двигаться только вверх, но сверху есть потолок, они обязаны прижиматься к самому низкому возможному потолку — супремуму. При движении только вниз пределом становится самый высокий возможный пол — инфимум.

Интуитивно это выглядит так: как только неубывающая последовательность подошла близко к своему «потолку», назад она уже не опускается, а выше потолка уйти не может. Поэтому весь дальнейший хвост остаётся рядом с этим уровнем. Для невозрастающей последовательности работает та же картина с «полом».