13 Итог

Итог

Супремум и инфимум отвечают на статический вопрос: насколько тесно можно ограничить все значения последовательности? Монотонность добавляет динамику: в каком направлении движутся значения? Для монотонной последовательности с подходящей односторонней границей теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности соединяет эти две идеи: супремум или инфимум становится пределом.

Для рекуррентных последовательностей отсюда получается надёжный порядок действий:

\begin{gathered} \text{граница}+\text{монотонность}\\ \Downarrow\\ \text{существование предела}\longrightarrow\text{уравнение для предела} \end{gathered}

Именно порядок важен: уравнение для предполагаемого предела имеет смысл только после того, как существование предела обосновано.

Главная смысловая схема.

Понятие	Суть
Верхняя грань $M$	Все члены удовлетворяют $x_n\le M$ .
Супремум	Наименьшая верхняя грань; ниже неё потолок уже опустить нельзя.
Нижняя грань $m$	Все члены удовлетворяют $x_n\ge m$ .
Инфимум	Наибольшая нижняя грань; выше неё пол уже поднять нельзя.
Максимум и минимум	Максимум — достигаемый супремум; минимум — достигаемый инфимум.
Расширенная прямая	$\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$ ; позволяет записывать супремум и инфимум неограниченных последовательностей с помощью $\pm\infty$ .
Монотонность	Члены движутся только в одном направлении: $x_{n+1}\ge x_n$ или $x_{n+1}\le x_n$ .
Ограниченность	Существует число $C>0$ , для которого $\|x_n\|\le C$ при всех $n\in\mathbb N$ ; все члены лежат в конечном отрезке.
Теорема о пределе	Неубывающая и ограниченная сверху последовательность сходится к своему супремуму; невозрастающая и ограниченная снизу — к инфимуму. В нашем курсе этот результат для краткости называется теоремой Вейерштрасса.