4 Строгое определение и проверка точных граней

Строгое определение и проверка точных граней

Фраза «самая тесная граница» хорошо передаёт идею, но в задачах нужна точная проверка. Для супремума и инфимума она состоит из двух частей.

Фрагмент записи	Как читать	Что означает здесь
$\forall n\in\mathbb N:\ x_n\le M$	Для каждого натурального $n$ : $x_n\le M$	Все члены лежат не выше $M$ , поэтому $M$ является верхней гранью.
$\forall\varepsilon>0$	Для любого $\varepsilon>0$	Проверка должна работать при любом, сколь угодно малом положительном расстоянии от $M$ .
$\exists n_\varepsilon\in\mathbb N:\ x_{n_\varepsilon}>M-\varepsilon$	Найдётся номер $n_\varepsilon$ , для которого $x_{n_\varepsilon}>M-\varepsilon$	Между уровнем $M-\varepsilon$ и потолком $M$ найдётся член последовательности; значит, потолок нельзя опустить ниже $M$ .

Второе условие говорит следующее. Берём произвольное, даже очень маленькое $\varepsilon>0$ , и опускаем предполагаемый потолок с $M$ до $M-\varepsilon$ . Новый уровень уже обязан перестать быть верхней гранью: хотя бы один член последовательности должен оказаться выше него.

Например, если $M=2$ и $\varepsilon=0{,}1$ , должен найтись член выше $1{,}9$ . Если уменьшить $\varepsilon$ , допустимая полоска под потолком станет уже, но подходящий член всё равно должен существовать.

LaTeX — Для любого $\varepsilon>0$ найдётся член последовательности, который выше $M-\varepsilon$ и не выше $M$

Запись $(M-\varepsilon;M]$ обозначает промежуток от $M-\varepsilon$ до $M$ : левая граница в него не входит, а правая входит. Поэтому условие супремума можно представить так: при любом $\varepsilon>0$ в этом промежутке найдётся хотя бы один член последовательности.

Для инфимума логика зеркальна: вместо потолка $M$ рассматриваем пол $m$ и проверяем, что его нельзя поднять даже на сколь угодно малое $\varepsilon>0$ .

Здесь мы поднимаем «пол» с $m$ до $m+\varepsilon$ . Если $m$ действительно является наибольшей нижней гранью, то новый уровень уже окажется слишком высоким: найдётся член ниже него.

Пример

Проверим по определению, что для $y_n=2-\dfrac1n$ выполнено $\sup y_n=2$ .

1. Проверяем верхнюю грань. Для каждого $n\in\mathbb N$

y_n=2-\frac1n<2

поэтому $2$ — верхняя грань.

2. Проверяем, что уменьшить её нельзя. Пусть дано произвольное $\varepsilon>0$ . Выберем натуральное $n$ так, чтобы

n>\frac1\varepsilon

Такой натуральный номер существует, потому что натуральные числа не ограничены сверху: какое бы действительное число мы ни задали, найдётся натуральное число больше него. Тогда $\dfrac1n<\varepsilon$ , а значит,

y_n=2-\frac1n>2-\varepsilon

Оба условия выполнены, поэтому $\sup y_n=2$ .

Симметрично для $x_n=\dfrac1n$ : число $0$ является нижней гранью, а при любом $\varepsilon>0$ выбор $n>\dfrac1\varepsilon$ даёт

x_n=\frac1n<\varepsilon=0+\varepsilon.

Значит, поднять нижнюю грань выше $0$ нельзя и $\inf x_n=0$ . Здесь мы уже используем тот же механизм, поэтому второй полный разбор не повторяем.

Практический алгоритм проверки. Формальное определение сразу даёт рабочий план:

Если предполагаемый супремум уже достигается, второй пункт становится особенно простым. Если $x_{n_0}=M$ , то при любом $\varepsilon>0$

x_{n_0}=M>M-\varepsilon

То же верно для достигаемого инфимума.

Пример

Найдём супремум и инфимум последовательности

z_n=(-1)^n\left(1-\frac1n\right)

Для любого $n\ge1$ выполнено

0\le1-\frac1n<1

-1<z_n<1

Значит, $1$ — верхняя грань, а $-1$ — нижняя.

Проверим, что верхнюю грань нельзя уменьшить. При чётном $n$

z_n=1-\frac1n

Для любого $\varepsilon>0$ можно выбрать достаточно большое чётное $n>\dfrac1\varepsilon$ . Тогда $z_n>1-\varepsilon$ , поэтому $\sup z_n=1$ . Для нечётных $n$

z_n=-1+\frac1n

Выбирая достаточно большое нечётное $n>\dfrac1\varepsilon$ , получаем $z_n<-1+\varepsilon$ . Следовательно, $\inf z_n=-1$ .

Ни $1$ , ни $-1$ не достигаются. Этот пример показывает, что супремум и инфимум могут одновременно существовать и при этом не быть максимумом и минимумом.

Факт, что для любого вещественного $A$ найдётся натуральное $n>A$ , называется архимедовым свойством натуральных чисел. Мы уже использовали его при первом выборе большого номера.