10 Дополнение: расширенная числовая прямая

Дополнение: расширенная числовая прямая

До сих пор супремум и инфимум были действительными числами. Но последовательность может оказаться неограниченной сверху или снизу. Например,

x_n=n=1,2,3,4,\ldots

не имеет вещественной верхней грани: какое бы $M\in\mathbb R$ мы ни выбрали, найдётся натуральное $n>M$ , а значит, $x_n>M$ .

В обычной $\mathbb R$ у такой последовательности супремума нет. Для единообразной записи вводят расширенную числовую прямую

\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}

Символы $-\infty$ и $+\infty$ — два добавленных элемента; они не являются действительными числами. Обычный порядок расширяют правилом $-\infty<x<+\infty$ для любого $x\in\mathbb R$ .

Фрагмент записи	Как читать	Что означает здесь
$\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$	Расширенная числовая прямая равна $\mathbb R$ , объединённой с $-\infty$ и $+\infty$	Знак $\cup$ означает объединение: к действительным числам добавляют два новых элемента.
$\sup x_n=+\infty$	Супремум $x_n$ равен плюс бесконечности	Последовательность не ограничена сверху; это не утверждение о поведении её хвоста.
$\inf x_n=-\infty$	Инфимум $x_n$ равен минус бесконечности	Последовательность не ограничена снизу.
$x_n\to+\infty$	$x_n$ стремится к плюс бесконечности	С ростом номера члены последовательности в итоге становятся больше любого заранее заданного действительного числа.

Теперь расширим прежнее понятие супремума и инфимума на $\overline{\mathbb R}$ . Для непустого множества значений последовательности по определению полагаем

\sup x_n=+\infty \quad\text{если последовательность не ограничена сверху}

\inf x_n=-\infty \quad\text{если последовательность не ограничена снизу}

Для ограниченной стороны прежнее определение не меняется. Здесь используется важный факт о действительных числах: всякое непустое множество действительных чисел, ограниченное сверху, имеет супремум в $\mathbb R$ , а ограниченное снизу — инфимум в $\mathbb R$ . Это свойство называют полнотой $\mathbb R$ ; сейчас нам важен прежде всего сам факт существования точной конечной грани.

Поэтому после добавления соглашений для неограниченных случаев у любой вещественной последовательности существуют супремум и инфимум в $\overline{\mathbb R}$ .