3 Супремум и инфимум

Супремум и инфимум

У одной последовательности может быть бесконечно много верхних и нижних граней. Поэтому естественно искать самые тесные из них: самый низкий допустимый «потолок» и самый высокий допустимый «пол».

Вернёмся к $x_n=\dfrac1n$ . Число $1$ — верхняя грань, потому что $x_n\le1$ . Любое число меньше $1$ уже не годится: если оно меньше $1$ , то первый член $x_1=1$ окажется выше него. Значит,

\sup x_n=1

Все члены положительны, поэтому $0$ — нижняя грань. Но поднять эту грань на любое положительное расстояние нельзя: как бы мало ни было число $\varepsilon>0$ , можно взять настолько большое $n$ , что $\dfrac1n<\varepsilon$ . Поэтому

\inf x_n=0

Здесь появляется важное различие: $1$ действительно встречается среди членов последовательности, а $0$ — нет.

Пример

Рассмотрим

y_n=2-\frac1n=1,\frac32,\frac53,\frac74,\ldots

Для любого $n$ имеем $y_n<2$ , поэтому $2$ — верхняя грань. При этом значения подходят к $2$ сколь угодно близко снизу, так что меньшего «потолка» подобрать нельзя. Следовательно,

\sup y_n=2

Но равенства $y_n=2$ не бывает ни при каком натуральном $n$ : для него потребовалось бы $\dfrac1n=0$ . Значит, супремум существует, но последовательностью не достигается.

Снизу $y_n\ge y_1=1$ , поэтому $\inf y_n=1$ , и этот инфимум достигается при $n=1$ .