1 Содержание

Содержание

Что даст эта статья.

Мы разберём, что означают верхние и нижние грани, почему среди них выделяют супремум и инфимум и чем они отличаются от максимума и минимума. Затем научимся читать строгие определения с кванторами, увидим связь супремума с пределом монотонной последовательности и подробно применим теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности к рекуррентной последовательности.

Во всей статье считаем, что

\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}

Если дана последовательность $(x_n)$ , то $n$ обозначает номер, $x_n$ — член с номером $n$ , а $(x_n)$ — всю последовательность. Множество всех её значений записывают $\{x_n:n\in\mathbb N\}$ : двоеточие здесь читается как «таких, что». Поэтому $\sup x_n$ означает супремум этого множества значений, а $\inf x_n$ — его инфимум.

Для чтения понадобятся обычные преобразования неравенств и базовое понимание предела последовательности. Математическую индукцию и дополнительные свойства пределов, которые встретятся дальше, мы кратко напомним прямо на месте. Здесь $\mathbb R$ обозначает множество действительных чисел — то есть чисел на привычной числовой прямой. Если с пределами вы ещё не работали, пока достаточно такой идеи: запись

\lim_{n\to\infty}x_n=L

читается «предел $x_n$ при $n$ , стремящемся к бесконечности, равен $L$ » и означает, что с ростом номера члены последовательности подходят к числу $L$ сколь угодно близко и, начиная с некоторого номера, уже остаются близко к нему. Когда предел понадобится дальше, мы ещё раз проговорим смысл прямо на месте.

По ходу статьи будут два вида практики. В блоках «Пример» решение разобрано сразу, а блоки «Задача» предназначены для самостоятельной работы. Подробные решения задач собраны в конце статьи.