2 Верхние и нижние грани

Верхние и нижние грани

Начнём не с новых терминов, а с простого вопроса: можно ли провести на числовой прямой отметку, выше которой ни один член последовательности не поднимается? И можно ли провести отметку, ниже которой ни один член не опускается?

Рассмотрим последовательность

x_n=\frac{1}{n}=1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots

Все её значения не превосходят $1$ , но это не единственный возможный «потолок»: числа $1{,}5$ , $2$ , $100$ тоже лежат выше всех членов последовательности. Снизу ситуация похожа: все значения положительны, поэтому числа $0$ , $-1$ , $-100$ подходят в качестве «пола».

Запись $M\in\mathbb R$ читается « $M$ принадлежит $\mathbb R$ » и означает, что $M$ — действительное число; аналогично $n\in\mathbb N$ означает, что $n$ — натуральный номер.

Обратите внимание на слово «для всех»: граница должна удерживать каждый член последовательности. Достаточно одного нарушения, чтобы число перестало быть гранью. Поэтому формула $\forall n\in\mathbb N\; x_n\le M$ читается буквально: «для каждого натурального номера $n$ выполняется $x_n\le M$ ».

LaTeX — Члены $x_n=\frac1n$ лежат между $0$ и $1$