Типичные ошибки Большинство ошибок в вычислении производных связано не со сложной алгеброй, а с неверным выбором правила или потерей условий. Удобно разделить их на две группы.
Ошибки выбора формулы.
Дифференцировать произведение как произведение производных. Неверно писать
\[(uv)'=u'v'\]
Например, при \(u=v=x\) правая часть равна \(1\) , а производная \(x^2\) равна \(2x\) . Правильная формула:
\[(uv)'=u'v+uv'\]
Забыть производную внутренней функции. Неверно писать
\[(\sin(2x))'=\cos(2x)\]
Внутри синуса стоит функция \(2x\) , поэтому по правилу цепи нужно дополнительно умножить на \((2x)'=2\) .
Использовать правило постоянной степени при переменном показателе. Для \(x^x\) нельзя писать \((x^x)'=x\,x^{x-1}\) : формула \((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\) предполагает, что показатель \(\alpha\) постоянен.
Ошибки, связанные с условиями и областью определения.
Потерять область определения после упрощения. Равенство
\[\tg x\,\ctg x=1\]
верно только там, где определены оба множителя. Упрощение выражения не возвращает запрещённые точки в область определения исходной функции.
Применить табличную формулу в точке, где конечной производной нет. Функция \(\arcsin x\) определена при \(x=\pm1\) , но формула
\[(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
применяется только при \(-1<x<1\) . Область определения функции и множество точек дифференцируемости могут различаться.
Логарифмировать основание без проверки знака. Метод логарифмического дифференцирования через \(\ln f(x)\) требует \(f(x)>0\) на рассматриваемом интервале. При нулевом или отрицательном основании переход к вещественному логарифму может быть незаконным.
Считать, что одного существования обратной функции достаточно. Для формулы производной обратной функции важно условие \(f'(x_0)\neq0\) . Если оно нарушено, у обратной функции может появиться вертикальная касательная и конечной производной в соответствующей точке не будет.
