11 Итог

Итог

Перед вычислением производной удобно пройти четыре шага:

найти область определения исходной функции;
определить внешнюю операцию и увидеть вложенные функции;
применить нужное правило, двигаясь от внешних слоёв к внутренним;
упростить результат, сохранив ограничения исходной функции.

После этого таблица помогает быстро выбрать первое действие.

Что вы видите	Что делать
Сумма или разность	Дифференцировать слагаемые отдельно: $(u\pm v)'=u'\pm v'$
Произведение	Применить правило $(uv)'=u'v+uv'$
Частное	Применить правило частного и обязательно проверить, где знаменатель не равен нулю
Функция внутри функции	Использовать правило цепи и двигаться от внешнего слоя к внутренним
Обратная функция	Проверить существование обратной функции и условие $f'(x_0)\neq0$ , затем применить $(f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}$
Переменная степень $[f(x)]^{g(x)}$	Проверить $f(x)>0$ на рассматриваемом интервале и применить логарифмическое дифференцирование

Справочно: гиперболические функции.

Гиперболические функции определяются через экспоненты и в основной части этой статьи не используются. Если вы их ещё не проходили, этот блок можно пропустить и вернуться к нему позже.

Функция	Производная	Условия
$\sinh x$	$\cosh x$	$x\in\mathbb R$
$\cosh x$	$\sinh x$	$x\in\mathbb R$
$\tgh x$	$\dfrac{1}{\cosh^2x}$	$x\in\mathbb R$
$\ctgh x$	$-\dfrac{1}{\sinh^2x}$	$x\neq0$

[ blanker, borderline west=3pt0ptpink!30!blue!75, left=12pt, right=8pt, top=2pt, bottom=2pt, before skip=6pt, after skip=0pt ] Главный принцип. Сначала структура функции и область определения, затем формула. После упрощения всегда сохраняйте ограничения исходного выражения.