могут одновременно меняться и основание, и показатель степени. Тогда нельзя напрямую применять ни обычное степенное правило \((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\), где показатель постоянен, ни правило \((a^x)'=a^x\ln a\), где постоянно основание.
Пусть \(f\) и \(g\) дифференцируемы. На интервале, где
\[f(x)>0,\]
степень с переменным показателем можно переписать через экспоненту:
\[y=[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\]
Так как \(f(x)>0\), функция \(\ln f(x)\) определена и дифференцируема на рассматриваемом интервале. Значит, дифференцируемы произведение \(g(x)\ln f(x)\) и композиция с экспонентой, поэтому производная \(y'\) действительно существует. Теперь применяем правило цепи и правило произведения:
На практике эту же идею часто записывают короче: сначала берут логарифм
\[\ln y=g(x)\ln f(x)\]
а затем дифференцируют обе части. Такая запись удобна для вычислений; строгая причина, по которой производная \(y'\) здесь существует, дана выше через представление \(y=e^{g(x)\ln f(x)}\).
