5 Сложная функция и правило цепи

Сложная функция и правило цепи

Очень часто одна функция подставлена внутрь другой. Например,

\sin(2x), \qquad e^{\cos x}, \qquad \sqrt{\sin(x^2)}, \qquad 3^{(\cos(4x))^{12}}

Такие выражения называют сложными функциями, или композициями функций.

Простыми словами: сначала дифференцируем внешнюю функцию, сохраняя внутреннее выражение на месте аргумента, затем умножаем на производную внутренней функции.

Интуитивно это можно представить так. Небольшое изменение $x$ сначала меняет внутреннюю функцию $f(x)$ , а уже изменение результата $f(x)$ влияет на внешнюю функцию $g$ . Поэтому в производной всей композиции учитываются оба слоя, и их влияния перемножаются. Строгая формула этого рассуждения записана в теореме выше.

LaTeX — Правило цепи: изменение проходит через каждый слой сложной функции

h'(x)=g'(u)f'(x)

Если слоёв больше двух, правило применяется последовательно. Для

y=H(G(F(x)))

получаем

y' = H'(G(F(x)))\,G'(F(x))\,F'(x)

Пример

Найдём производную

y=3^{(\cos(4x))^{12}}

Чтобы не потерять ни один слой, сначала выпишем, как строится функция изнутри наружу:

При дифференцировании идём в обратном направлении — от внешнего слоя к внутренним. Начинаем с показательной функции:

\begin{aligned} y' &=3^{(\cos(4x))^{12}}\ln3\,\bigl((\cos(4x))^{12}\bigr)'\\ &=3^{(\cos(4x))^{12}}\ln3\,12(\cos(4x))^{11}(\cos(4x))'\\ &=3^{(\cos(4x))^{12}}\ln3\,12(\cos(4x))^{11}(-\sin(4x))(4x)'\\ &=-48\ln3\,\sin(4x)\,(\cos(4x))^{11}3^{(\cos(4x))^{12}} \end{aligned}

Ответ:

y'=-48\ln3\,\sin(4x)\,(\cos(4x))^{11}3^{(\cos(4x))^{12}}

Пример

Тонкий пример. Этот пример можно пропустить при первом чтении и вернуться к нему после освоения основных примеров на правило цепи. Его цель не ввести ещё одну формулу, а показать, почему область определения нужно проверять до применения правила цепи. Рассмотрим функцию

f(x)=\sqrt{\sin(x^2)}

Здесь нельзя механически применять правило цепи ко всем точкам: нужно учесть корень. Исходная функция определена там, где

\sin(x^2)\ge0

В точках, где

\sin(x^2)>0,

внешняя функция $\sqrt{u}$ дифференцируема, поэтому правило цепи применимо непосредственно:

\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{1}{2\sqrt{\sin(x^2)}}(\sin(x^2))'\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt{\sin(x^2)}}\cos(x^2)\,2x\\ &=\dfrac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}} \end{aligned}

В каждой точке, где $\sin(x^2)=0$ , записанная формула не имеет смысла. Если $x\neq0$ , то при переходе через такую точку выражение $\sin(x^2)$ меняет знак, поэтому исходная функция не определена в полной окрестности точки и обычной производной там нет.

Точка $x=0$ требует отдельной проверки: функция определена в полной окрестности нуля, но обычной производной в нуле всё равно нет. Действительно,

f(0)=0

и для $h\neq0$

\dfrac{f(h)-f(0)}{h} = \dfrac{\sqrt{\sin(h^2)}}{h}

При $h>0$

\dfrac{\sqrt{\sin(h^2)}}{h} = \sqrt{\dfrac{\sin(h^2)}{h^2}} \longrightarrow1,

а при $h<0$

\dfrac{\sqrt{\sin(h^2)}}{h} = -\sqrt{\dfrac{\sin(h^2)}{h^2}} \longrightarrow-1

Односторонние пределы различаются, поэтому $f'(0)$ не существует.

Этот пример показывает важное правило: цепочка формул не отменяет проверку области определения и особых точек.