6 Производная обратной функции

Производная обратной функции

Сначала напомним, что означает обратная функция. Для обратимости важно не просто то, что каждому $x$ соответствует одно значение $f(x)$ : это верно для любой функции. Нужно, чтобы на выбранной области разные значения $x$ давали разные значения функции. Тогда по значению $y=f(x)$ можно единственным образом восстановить исходный $x$ .

Начнём с простого примера. Если

f(x)=2x+3

то из равенства $y=2x+3$ можно однозначно восстановить $x$ :

x=\dfrac{y-3}{2}

Значит, обратная функция выполняет действие в обратную сторону и имеет вид

f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}

Здесь верхний индекс $-1$ не означает степень и не означает дробь $\dfrac{1}{f}$ : это специальное обозначение обратной функции.

Теперь запишем ту же идею в общем виде. Пусть $I$ — промежуток, на котором функция $f$ обладает этим свойством. Обозначение $f(I)$ означает множество всех значений $f(x)$ , которые получаются при $x\in I$ . Тогда обратная функция имеет вид

\boxed{f^{-1}\colon f(I)\to I},

и выполняется равносильность

\boxed{y=f(x) \qquad\Longleftrightarrow\qquad x=f^{-1}(y)}

Двойная стрелка $\Longleftrightarrow$ означает, что эти два равенства равносильны: каждое из них можно получить из другого.

Одного существования обратной функции для формулы её производной недостаточно. Нужно также исключить точку, где производная исходной функции равна нулю. Напомним два термина. Строго монотонная функция на интервале всё время либо строго возрастает, либо строго убывает. Внутренняя точка интервала — точка, около которой можно немного сдвинуться и влево, и вправо, оставаясь внутри этого интервала.

Геометрически графики $y=f(x)$ и $y=f^{-1}(x)$ симметричны относительно прямой $y=x$ . Поэтому роли горизонтального и вертикального изменения меняются местами, а ненулевой наклон превращается во взаимно обратный.

LaTeX — Обратные функции отражаются друг в друга относительно прямой $y=x$

На этом рисунке особенно хорошо видно, зачем требуется условие $f'(x_0)\neq0$ . Функция

f(x)=x^3

строго возрастает на всей числовой прямой и имеет обратную функцию $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ , но

f'(0)=0

У обратной функции в нуле появляется вертикальная касательная, и конечной обычной производной там нет. Значит, условие о ненулевой производной нельзя просто вычеркнуть из теоремы.

Пример

Выведем формулу для производной функции $\arcsin x$ . Функция $\arcsin x$ является обратной к синусу, если синус рассматривать только на промежутке

\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

Именно на этом промежутке синус строго возрастает, поэтому каждому значению $x\in[-1,1]$ соответствует единственное значение $\arcsin x$ .

Для $-1<x<1$ применяем теорему о производной обратной функции непосредственно:

(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}

Теперь нужно выразить знаменатель через $x$ . Обозначим

y=\arcsin x

Тогда

\sin y=x, \qquad y\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

Из тождества

\sin^2y+\cos^2y=1

следует

\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}

Мы выбираем положительный корень, потому что на указанном промежутке $\cos y\ge0$ , а при $-1<x<1$ имеем даже $\cos y>0$ . Поскольку $\sin y=x$ ,

\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}

Поэтому

(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad -1<x<1

Синус на выбранной ветви и функция $\arcsin x$ являются взаимно обратными

Аналогично получаются остальные производные обратных тригонометрических функций. Для $\arccos x$ удобно также использовать тождество

\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}

Тогда при $-1<x<1$

\begin{aligned} (\arccos x)' &=\left(\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x\right)'\\ &=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

Для стандартной ветви $\arcctg x\in(0,\pi)$ также верно

\arctg x+\arcctg x=\dfrac{\pi}{2}

Поэтому

(\arcctg x)'=-(\arctg x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}