4 Таблица производных

Таблица производных

Правила предыдущего раздела объясняют, как дифференцировать выражение, составленное из нескольких функций. Но нужны ещё «кирпичики» — производные самих элементарных функций.

В третьей колонке указаны условия, при которых мы будем применять формулу в математическом анализе. Они важны: одна и та же формула может быть верна на более широкой области для отдельных значений параметра, но не для произвольного параметра. Здесь $\mathbb N$ обозначает натуральные числа, $\mathbb Z$ — целые числа, а $\mathbb R$ — действительные числа.

Функция	Производная	Условия
$C$	$0$	$C$ — константа
$x^n$	$nx^{n-1}$	$n\in\mathbb N$ , $n\ge1$ ; при всех $x\in\mathbb R$
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$	для произвольного $\alpha\in\mathbb R$ : $x>0$ ; у частных степеней область может быть шире
$e^x$	$e^x$	$x\in\mathbb R$
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$ , $x\in\mathbb R$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x>0$

Условие $x>0$ в строке для $x^\alpha$ — общее условие, которое подходит для произвольного вещественного показателя $\alpha$ . Для конкретных степеней область может быть шире. Например, $x^2$ определена при всех $x\in\mathbb R$ , функция $\sqrt{x}=x^{1/2}$ определена при $x\ge0$ и имеет конечную производную по степенной формуле при $x>0$ , а $x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$ определена при $x\neq0$ .

При $a=1$ функция $a^x=1$ постоянна, и та же формула корректно даёт

(1^x)'=1^x\ln1=0

Для целых степеней формулу можно расширять дальше. Например,

(x^{-3})'=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}, \qquad x\neq0

Ограничение связано не с самой формулой дифференцирования, а с тем, что исходная функция $x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}$ не определена при $x=0$ .

Функция	Производная	Условия
$\sin x$	$\cos x$	$x\in\mathbb R$
$\cos x$	$-\sin x$	$x\in\mathbb R$
$\tg x$	$\dfrac{1}{\cos^2x}$	$\cos x\neq0$
$\ctg x$	$-\dfrac{1}{\sin^2x}$	$\sin x\neq0$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$-1<x<1$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$-1<x<1$
$\arctg x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	$x\in\mathbb R$
$\arcctg x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$	$x\in\mathbb R$

В строке для $\arcctg x$ используется стандартная вещественная ветвь со значениями в интервале $(0,\pi)$ . При таком соглашении $\arctg x+\arcctg x=\dfrac{\pi}{2}$ .

Почему для $\arcsin x$ и $\arccos x$ в таблице стоит $-1<x<1$, хотя сами функции определены при $-1\le x\le1$?

В точках $x=\pm1$ знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ обращается в ноль. Соответствующие односторонние отношения приращений не имеют конечного предела, а графики имеют вертикальные касательные. Поэтому формула конечной производной применяется только при $-1<x<1$ . Область определения функции и множество точек, где существует конечная производная, могут различаться.