7 Практика вычисления производных

Практика вычисления производных

Когда выражение большое, полезно не начинать вычисления сразу. Сначала пройдите короткий алгоритм.

Пример

Рассмотрим

f(x)=\tg x\,\ctg x

Сначала найдём область определения. Для тангенса требуется

\cos x\neq0,

а для котангенса

\sin x\neq0

Следовательно, исходная функция определена при

x\neq\dfrac{\pi k}{2}, \qquad k\in\mathbb Z

На этой области

\tg x\,\ctg x=1

Поэтому в каждой точке области определения

f'(x)=(1)'=0

Ответ:

f'(x)=0, \qquad x\neq\dfrac{\pi k}{2}, \quad k\in\mathbb Z

Нельзя написать просто « $f(x)=1$ при всех $x$ »: после упрощения запрещённые точки исходного выражения не становятся допустимыми.