2 Зачем нужны правила дифференцирования

Зачем нужны правила дифференцирования

Если производную каждый раз искать непосредственно по определению, даже простая функция быстро приводит к длинным преобразованиям. Например, для произведения двух функций пришлось бы раскрывать разность

u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)

а затем специально перегруппировывать слагаемые. Для частного вычисления становятся ещё громоздче.

Поэтому в математическом анализе выделяют два уровня работы:

определение производной объясняет, что такое производная и почему она связана с пределом;
правила дифференцирования и таблица производных позволяют быстро вычислять производные уже знакомых функций.

Важно не просто запомнить формулы, а научиться распознавать структуру выражения. В функции

(x^2+1)e^{3x}

снаружи стоит произведение двух множителей, а во втором множителе есть сложная функция $e^{3x}$ . Значит, в одном вычислении понадобятся сразу два правила: производная произведения и правило цепи.

Перед вычислениями сначала распознайте структуру выражения: какая операция является внешней и какие функции вложены друг в друга. После этого выбрать нужное правило гораздо проще.