Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2179

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2179

Найти f(x)f(x), если:

а) f′(sin⁡2x)=cos⁡2xf'(\sin^2x)=\cos^2x;

б) f′(ln⁡x)={1при 0<x≤1;xпри 1<x<+∞\displaystyle f'(\ln x)=\begin{cases}1&\text{при }0<x\le1;\\x&\text{при }1<x<+\infty\end{cases} и f(0)=0f(0)=0.
Ответ:а)f(x)=x−x22+C,0⩽x⩽1f(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+C,
\qquad
0\leqslant x\leqslant1Вне отрезка [0;1][0;1] функция условием не определяется.

б)f(x)={x,x⩽0ex−1,x>0f(x)=
\begin{cases}
x, & x\leqslant0\\
e^x-1, & x>0
\end{cases}

Решение

а) Положим t=sin⁡2xt=\sin^2x. Тогда 0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1 иcos⁡2x=1−sin⁡2x=1−t\cos^2x=1-\sin^2x=1-tПоскольку sin⁡2x\sin^2x принимает все значения от 00 до 11, условие задачи равносильно равенствуf′(t)=1−t,0⩽t⩽1f'(t)=1-t,
\qquad
0\leqslant t\leqslant1Следовательно,f(t)=t−t22+Cf(t)=t-\dfrac{t^2}{2}+CПосле переименования переменной получаем f(x)=x−x22+Cf(x)=x-\frac{x^2}{2}+C при 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1. Вне этого отрезка исходное условие функцию не определяет.

б) Положим t=ln⁡xt=\ln x, откуда x=etx=e^t. При 0<x⩽10<x\leqslant1 имеем t⩽0t\leqslant0, а при x>1x>1 имеем t>0t>0. Поэтомуf′(t)={1,t⩽0et,t>0f'(t)=
\begin{cases}
1, & t\leqslant0\\
e^t, & t>0
\end{cases}На промежутке t⩽0t\leqslant0 получаем f(t)=t+C1f(t)=t+C_1. Из условия f(0)=0f(0)=0 следует C1=0C_1=0.

При t>0t>0 имеем f(t)=et+C2f(t)=e^t+C_2. Функция ff дифференцируема, а значит, непрерывна в точке 00. Поэтомуlim⁡t→0+f(t)=f(0),1+C2=0,C2=−1\lim_{t\to0^+}f(t)=f(0),
\qquad
1+C_2=0,
\qquad
C_2=-1Для найденной функцииf′(x)={1,x<0ex,x>0f'(x)=
\begin{cases}
1, & x<0\\
e^x, & x>0
\end{cases}а в точке склеиванияf−′(0)=1,f+′(0)=e0=1f'_-(0)=1,
\qquad
f'_+(0)=e^0=1Следовательно, значения и производные обеих ветвей согласованы.
Демидович № 2179 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика