Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2178

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Найти

f(x)

, если

f'(x^2)=\dfrac1x

(x>0)

Ответ:

f(x)=2\sqrt x+C, \qquad x>0

Решение

По условию

x>0

. Обозначим

t=x^2

, тогда

t>0

x=\sqrt t

. Исходное равенство принимает вид

f'(t)=\dfrac1{\sqrt t}

Интегрируя по переменной

t

, получаем

f(t)=\int t^{-\frac{1}{2}}\,dt=2\sqrt t+C

После переименования независимой переменной имеем

f(x)=2\sqrt x+C

при

x>0

. Условие задачи определяет функцию только на положительной полуоси. Выполним обратную проверку:

f'(x^2)=\dfrac1{\sqrt{x^2}} =\dfrac1{|x|} =\dfrac1x

Последнее равенство справедливо именно благодаря условию

x>0