Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2177

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Найти

\displaystyle\int f'(2x)\,dx

Ответ:

\dfrac12 f(2x)+C, \qquad 2x\in D_{f'}

Решение

Рассматриваем промежуток, на котором функция

f

дифференцируема в соответствующих точках

2x

, то есть

2x\in D_{f'}

. Положим

t=2x, \qquad dt=2\,dx, \qquad dx=\dfrac{dt}{2}

Тогда

\begin{aligned} \int f'(2x)\,dx &=\dfrac12\int f'(t)\,dt=\\ &=\dfrac12 f(t)+C =\dfrac12 f(2x)+C\end{aligned}