Геометрическая задача на доказательство

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AD$ и $BC$ четырёхугольника пересекаются в точке $K$. Докажите, что треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ равны.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 4 и 64, $BD=16$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T$, причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST$. Докажите, что прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны.

Биссектрисы углов $B$ и $C$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CD$.

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.

Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$. Точка $K$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $DK$ — биссектриса угла $ADC$.

Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что $M$ — середина $AD$.