Геометрическая задача повышенной сложности

Четырёхугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB=5\), \(CD=17\) вписан в окружность. Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(K\), причём \(\angle AKB=60^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(BE\) и медиана \(AD\) перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную \(8\). Найдите стороны треугольника \(ABC\).

В треугольнике \(ABC\) биссектриса угла \(A\) делит высоту, проведённую из вершины \(B\), в отношении \(5:4\), считая от точки \(B\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), если \(BC=6\).

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен \(20\), а площадь равна \(20\), можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

В трапеции \(ABCD\) боковая сторона \(AB\) перпендикулярна основанию \(BC\). Окружность проходит через точки \(C\) и \(D\) и касается прямой \(AB\) в точке \(E\). Найдите расстояние от точки \(E\) до прямой \(CD\), если \(AD=4\), \(BC=2\).

На стороне \(BC\) остроугольного треугольника \(ABC\) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту \(AD\) в точке \(M\), \(AD=9\), \(MD=3\), \(H\) -- точка пересечения высот треугольника \(ABC\). Найдите \(AH\).

Углы при одном из оснований трапеции равны \(86^\circ\) и \(4^\circ\), а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны \(4\) и \(1\). Найдите основания трапеции.

Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(K\). Найдите площадь параллелограмма, если \(BC=2\), а расстояние от точки \(K\) до стороны \(AB\) равно \(8\).

Середина \(M\) стороны \(AD\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) равноудалена от всех его вершин. Найдите \(AD\), если \(BC=3\), а углы \(B\) и \(C\) четырёхугольника равны соответственно \(94^\circ\) и \(131^\circ\).

Основание \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равно \(12\). Окружность радиуса \(8\) с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания \(AC\) в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).