Задание 25: Окружности радиусов \(4\) и \(60\) касаются... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Геометрическая задача повышенной сложности

Окружности радиусов

4

60

касаются внешним образом. Точки

A

B

лежат на первой окружности, точки

C

D

— на второй. При этом

AC

BD

— общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми

AB

CD

Решение

Пусть

O

— центр первой окружности радиуса

r=4

, а

O_1

— центр второй окружности радиуса

R=60

. Так как окружности касаются внешним образом,

OO_1=R+r=60+4=64.

Обозначим через

T

точку пересечения общих касательных

AC

BD

. Эта точка находится левее изображённого фрагмента. Центры окружностей лежат на биссектрисе угла между касательными, поэтому точки

T

O

O_1

лежат на одной прямой.

Рассмотрим прямоугольные треугольники

TOA

TO_1C

OA\perp AC,\qquadO_1C\perp AC.

Угол при

T

у них общий, поэтому

\triangle TOA\sim\triangle TO_1C

по двум углам. Следовательно,

\frac{TO_1}{TO}=\frac{O_1C}{OA}=\frac{R}{r}.

Так как

TO_1=TO+OO_1=TO+R+r

, получаем

\frac{TO+R+r}{TO}=\frac{R}{r},\qquadTO=\frac{r(R+r)}{R-r}.

Поскольку точки

T,F,O

лежат на одной прямой, лучи

OT

OF

совпадают. Поэтому в прямоугольном треугольнике

TOA

\cos \angle FOA=\frac{OA}{TO}=\frac{r}{\frac{r(R+r)}{R-r}}=\frac{R-r}{R+r}=\frac{60-4}{60+4}.

Пусть

F=AB\cap OO_1

G=CD\cap OO_1

. Из симметрии точек касания относительно линии центров следует, что

AB\perp OO_1

CD\perp OO_1

. Поэтому искомое расстояние между прямыми

AB

CD

равно

FG

.

Так как

OA\perp AC

O_1C\perp AC

, то

OA\parallel O_1C

. Кроме того, точки

F,O,G,O_1

лежат на одной прямой. Поэтому

\angle FOA=\angle GO_1C.

В прямоугольных треугольниках

OAF

O_1CG

OF=r\cos \angle FOA,\qquadO_1G=R\cos \angle GO_1C=R\cos \angle FOA.

Точки расположены на линии центров в порядке

F,O,G,O_1

, поэтому

FG=FO+OG,\qquadOG=OO_1-O_1G.

Следовательно,

\displaystyle FG\mathrel{=}