Задание 25: Боковые стороны \(AB\) и \(CD\) трапеции...

Условие, ответ и разбор задачи

Геометрическая задача повышенной сложности

Боковые стороны

AB

CD

трапеции

ABCD

равны соответственно

4

5

, а основание

BC

равно

1

. Биссектриса угла

ADC

проходит через середину стороны

AB

. Найдите площадь трапеции.

Решение

Пусть

M

— середина

AB

. Продлим биссектрису

DM

до пересечения с прямой

BC

в точке

P

. Так как

AD\parallel BC

, а

PD

— секущая, углы

\angle CPD=\angle PDA

равны как накрест лежащие. Луч

DP

совпадает с биссектрисой угла

ADC

, поэтому

\angle PDA=\angle CDP.

Следовательно,

\angle CPD=\angle CDP

, и треугольник

PCD

равнобедренный. Значит,

PC=CD=5.

Тогда

PB=PC-BC=5-1=4.

Поскольку

PB\parallel AD

, получаем

\angle PBM=\angle DAM.

Углы

\angle PMB

\angle DMA

вертикальные, поэтому они также равны. Следовательно,

\triangle PBM\sim\triangle DAM

по двум углам. При этом

AM=MB

, поэтому коэффициент подобия равен

1

, и

AD=PB=4.

Проведём

CE\parallel AB

E\in AD

. Тогда

ABCE

— параллелограмм:

CE=AB=4,\qquadAE=BC=1.

Следовательно,

ED=AD-AE=3

. Проверим равенство из теоремы Пифагора:

CE^2+ED^2=4^2+3^2=5^2=CD^2.

По обратной теореме Пифагора треугольник

CED

прямоугольный, то есть

CE\perp ED

. Поскольку

ED

лежит на основании

AD

, отрезок

CE

является высотой трапеции. Тогда

S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CE=\frac{4+1}{2}\cdot 4=10.

Похожие задачи