Для студентов Для учителей

Задание 25: В трапеции \(ABCD\) боковая сторона \(AB\)... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Геометрическая задача повышенной сложности

В трапеции

ABCD

боковая сторона

AB

перпендикулярна основанию

BC

. Окружность проходит через точки

C

и

D

и касается прямой

AB

в точке

E

. Найдите расстояние от точки

E

до прямой

CD

, если

AD=4

,

BC=2

.

Решение

Изображение к решению

Продолжим прямые

AB

и

CD

до пересечения в точке

M

. Через

C

проведём

CK\parallel AB

, где

K\in AD

. Так как

AD\parallel BC

, четырёхугольник

ABCK

— прямоугольник. Поэтому

AK=BC=2,\qquadKD=AD-AK=4-2=2.

Докажем подобие нужных треугольников. Углы

\angle MBC=\angle CKD=90^\circ.

Кроме того,

MB\parallel CK

, а точки

M,C,D

лежат на одной прямой, поэтому

\angle CMB=\angle DCK.

Следовательно,

\triangle MCB\sim\triangle CDK

по двум углам. Из этого подобия

\frac{MC}{CD}=\frac{BC}{KD}=\frac{2}{2}.

Аналогично

\angle MAD=\angle CKD=90^\circ

, а

\angle MDA=\angle CDK

. Поэтому

\triangle MDA\sim\triangle CDK

по двум углам, и

\frac{MD}{CD}=\frac{AD}{KD}=\frac{4}{2}.

Прямая

ME

касается окружности, а

MCD

— секущая. По теореме о касательной и секущей

ME^2=MC\cdot MD.

Подставим выражения, полученные из подобия:

MC=\frac{2}{2}CD,\qquadMD=\frac{4}{2}CD.

Тогда

\displaystyle ME^2\mathrel{=}

откуда

ME=\frac{CD}{2}\sqrt{4\cdot 2}.

Пусть

F

— основание перпендикуляра, опущенного из

E

на

CD

. В прямоугольном треугольнике

MEF

\frac{EF}{ME}=\sin\angle EMF.

Так как

ME\parallel CK

, а

MF

лежит на прямой

CD

, то

\angle EMF=\angle DCK

. В прямоугольном треугольнике

DCK

\sin\angle DCK=\frac{KD}{CD}.

Следовательно,

\displaystyle EF\mathrel{=}