11 Центральные и вписанные углы

Центральные и вписанные углы

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным. $\alpha = \stackrel{\smile}{AB}.$
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность называется вписанным.
1. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен его половине. $\beta =\frac{1}{2}\alpha.$

Замечание: В частности два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

3. Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен вписанному углу, который опирается на дугу, стягиваемую хордой.

4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме выскаемых ими дуг.

5. Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.

6. Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг.

7. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности высекаемых ими дуг.

8. На отрезке $AB$ как на диаметре построили окружность. Тогда: 1) Из точек, лежащих строго внутри окружности, диаметр $AB$ виден под тупым углом. 2) Из точек, лежащих на самой окружности, диаметр $AB$ виден под прямым углом. 3) Из точек, лежащих вне окружности, диаметр $AB$ виден под острым углом.
9. Дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны.
10. Дуги, заключенные между хордой и параллельной ей касательной, равны.
11. Дуги, стягиваемые равными хордами, равны.

Замечание: Любая хорда стягивает две дуги окружности (например, хорда $AB$ стягивает дуги $\stackrel{\smile}{AB}$ и $\stackrel{\smile}{BA}$ ). Тогда, если хорды $AB$ и $CD$ равны, то дуга $\stackrel{\smile}{AB}$ равна дуге $\stackrel{\smile}{CD}$ и дуга $\stackrel{\smile}{BA}$ равна дуге $\stackrel{\smile}{DC}$ .

12. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам саму хорду и дугу, стягиваемую ею.

Обратно, диаметр, проходящий через середину хорды перпендикулярен ей.

13. Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$ , тогда

AE\cdot EB = DE\cdot EC.

14. Пусть $M$ – точка вне окружности, $a$ – расстояние от точки $M$ до центра окружности, $r$ – радиус окружности. Пусть $BM$ – касательная к окружности. Секущая из точки $M$ пересекает окружность в точках $A$ и $C$ , тогда

Замечание: Данное утверждение можно также переформулировать иначе.

Квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.

15. Пусть $M$ – точка вне окружности. $ME$ – касательная к окружности. Из точки $M$ выходят две секущие: первая пересекает окружность в точках $A$ и $B$ , вторая – в точках $C$ и $D$ . Тогда: