8 Средняя линия

Средняя линия

Средней линией треугольника будем называть отрезок, соединяющий середины двух сторон.

1. Средняя линяя $A'C'$ треугольника $ABC$ отсекает от него подобный треугольник $A'BC'$ , причём коэффициент подобия равен $\dfrac{1}{2}$ .

2. Средняя линяя треугольника параллельна основанию и равна его половине.

3. Средние линии делят треугольник на $4$ равных треугольника площади которых равны $\dfrac{S}{4}$ , где $S$ – площадь исходного треугольника.

Среднией линией трапеции будем называть отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

4. Средняя линяя трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

5. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности длин оснований.

6. (Теорема Вариньона)
Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника (не обязательно выпуклого), является параллелограммом, площадь которого вдвое меньше площади четырехугольника. Полученный параллелограмм будем называть параллелограммом Вариньона.

7. Стороны параллелограмма Вариньона равны половинкам диагоналей четырехугольника, из которого он получен.
8. Если диагонали исходного четырехугольника равны, то параллелограмм Вариньона становится ромбом.
9. Если диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона становится прямоугольником.
10. Четырехугольник, вершинами которого являются середины двух противоположных сторон и диагоналей произвольного четырехугольника, является параллелограммом.

11. Пусть $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ , $M_4$ – середины последовательных сторон четырёхугольника, $O_1$ , $O_2$ – середины диагоналей четырёхугольника, тогда $M_1M_3$ ; $M_2M_4$ и $O_1O_2$ пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам.

Средняя линия

2. Из обратной теоремы Фалеса следует, что отрезки $AC$ и $A'C'$ параллельны. Угол $\angle{ABC}$ является общим для треугольников $ABC$ и $A'BC'$ , при этом $AB = 2A'B$ , $BC = 2C'B$ , значит $ABC$ и $A'BC'$ подобны по второму признаку подобия с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$ , поэтому $AC = 2A'C'$ . То есть средняя линия равна половине основания.

3. Мы установили, что каждая средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ , значит, площадь треугольника, отсекаемого средней линией, равна $\dfrac{S}{4}$ (так как отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия). Таким образом, получаем:

S_{AA'B'} + S_{BA'C'} + S_{CB'C'} = \dfrac{S}{4} + \dfrac{S}{4} + \dfrac{S}{4} = \dfrac{3S}{4}.

Поэтому площадь оставшегося треугольника $A'B'C'$ равна также $S - \dfrac{3S}{4} = \dfrac{S}{4}$ .

4. Пусть диагональ $AC$ пересекает среднюю линию в точке $F$ . Тогда $MF$ – средняя линия треугольника $ABC$ , значит, $MF = \dfrac{b}{2}$ . $FN$ – средняя линия треугольника $ACD$ , значит, $FN = \dfrac{a}{2}$ . Таким образом, получаем, что

MN = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} = \dfrac{a+b}{2}.

5. Пусть $M$ и $N$ – середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Отрезок, соединяющий $M$ с серединой боковой стороны $AB$ , равен $\dfrac{b}{2}$ . Отрезок, соединяющий $N$ с серединой боковой стороны $CD$ , равен $\dfrac{b}{2}$ . Значит,

MN = \dfrac{a + b}{2} - b = \dfrac{a - b}{2}.

6. Пусть $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ , $M_4$ – середины сторон $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ соответственно. Тогда $M_1M_2$ – средняя линия треугольника $ABC$ , а значит, отрезок $M_1M_2$ параллелен отрезку $AC$ и $AC = 2M_1M_2$ . $M_3M_4$ – средняя линия треугольника $ACD$ , значит, отрезок $M_3M_4$ параллелен отрезку $AC$ и $AC = 2M_3M_4$ , то есть отрезки $M_1M_2$ и $M_3M_4$ параллельны и равны. Аналогично мы можем доказать, что отрезки $M_1M_4$ и $M_2M_3$ параллельны и равны. Значит, четырёхугольник $M_1M_2M_3M_4$ – параллелограмм.

Докажем, что площадь $M_1M_2M_3M_4$ в два раза меньше площади $ABCD$ . Имеем:

S_{BM_1M_2} = \dfrac{1}{4}S_{ABC},\;\; S_{DM_3M_4} = \dfrac{1}{4}S_{ACD},\;\; S_{AM_1M_4} = \dfrac{1}{4}S_{ABD},\;\; S_{CM_2M_3} = \dfrac{1}{4}S_{BCD}.

При этом

S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABD} + S_{BCD} = S_{ABCD} = S,

значит,

S_{BM_1M_2} + S_{DM_3M_4} + S_{AM_1M_4} + S_{CM_2M_3} = \dfrac{1}{4}\cdot (S + S) = \dfrac{S}{2}.

Таким образом,

S_{M_1M_2M_3M_4} = S - (S_{BM_1M_2} + S_{DM_3M_4} + S_{AM_1M_4} + S_{CM_2M_3}) = S - \dfrac{S}{2} = \dfrac{S}{2}.

7. В предыдущем пункте мы доказали, что $M_1M_2 = M_3M_4 = \dfrac{AC}{2}$ , аналогично мы можем доказать, что $M_1M_4 = M_2M_3 = \dfrac{BD}{2}$ .

8. Если $AC = BD$ , значит $M_1M_2 = M_3M_4 = \dfrac{AC}{2} = M_1M_4 = M_2M_3$ , поэтому $M_1M_2M_3M_4$ – ромб.

9. Отрезки $M_1M_2$ и $M_3M_4$ параллельны диагонали $AC$ , отрезки $M_1M_4$ и $M_2M_3$ параллельны $BD$ , значит углы между соседними сторонами параллелограмма $M_1M_2M_3M_4$ равны углу между диагоналями, то есть углы четырёхугольника $M_1M_2M_3M_4$ равны $90^{\circ}$ , значит, $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ , $M_4$ – прямоугольник.

10. Пусть $ABCD$ – четырёхугольник. $M_1$ , $M_2$ – середины сторон $AB$ и $CD$ , $O_1$ – середина диагонали $BD$ , $O_2$ – середина диагонали $AC$ . Тогда $M_1O_1$ – средняя линия треугольника $ABD$ , значит, отрезок $M_1O_1$ параллелен отрезку $AD$ и $M_1O_1 = \dfrac{AD}{2}$ .

$M_2O_2$ – средняя линия треугольника $ACD$ , значит отрезок $M_2O_2$ параллелен отрезку $AD$ и $M_2O_2 = \dfrac{AD}{2}$ , то есть отрезки $M_1O_1$ и $M_2O_2$ параллельны и $M_1O_1 = M_2O_2$ . Значит, $M_1O_1M_2O_2$ –параллелограмм.