15 Вписанные и центральные углы

Вписанные и центральные углы

1. Рассмотрим $3$ случая расположения точки $C$ .

Случай 1: Пусть точка $O$ лежит на отрезке $AC$ . Тогда $AC$ – диаметр и $OC = OB$ , то есть треугольник $COB$ – равнобедренный и $\angle{OCB} = \angle{OBC}$ . Внешний угол $\angle{AOB}$ равен сумме внутренних, не смежных с ним. Получаем, что

\angle{AOB} = \angle{OCB} + \angle{OBC} = 2\angle{OCB} = 2\angle{ACB}.

Случай 2: Пусть точка $O$ лежит внутри угла $ACB$ . Продолжим прямую $CO$ до пересечения с окружностью в точке $D$ . Точка $O$ лежит на отрезке $CD$ , а значит, $\angle{AOD} = 2\angle{ACD}$ и $\angle{DOB} = 2\angle{DCB}$ (см. случай $1$ ), поэтому $\angle{AOB} = 2\angle{ACB}$ .

Случай 3: Пусть точка $O$ лежит вне угла $ACB$ . Продолжим прямую $CO$ до пересечения с окружностью в точке $D$ . Без ограничения общности, считаем, что точка $A$ лежит внутри угла $DCB$ . Тогда

\angle{AOB} = \angle{BOD} - \angle{AOD} = 2\angle{BCD} - 2\angle{ACD} = 2\angle{ACB}.

2. Допустим, что радиус окружности, проведенный в точку касания, не перпендикулярен касательной. Тогда из центра окружности проведём к касательной отрезок, перпендикулярный ей. При этом радиус является наклонной к касательной, а значит, расстояние от точки $O$ до касательной меньше радиуса, поэтому касательная имеет две точки пересечения с окружностью. Получаем противоречие.

3. Продлим отрезок $BO$ до пересечения с окружностью в точке $D$ . Тогда по теореме о вписанном угле получаем, что $\angle{BDC} = \angle{BAC}$ . Угол $BCD$ опирается на диаметр окружности, а значит, он равен $90^{\circ}$ , поэтому

\angle{CBD} = 90^{\circ} - \angle{BDC} = 90^{\circ} - \angle{BAC}.

$OB$ – радиус окружности, а значит, $\angle{DBE} = \angle{OBE} = 90^{\circ}$ . Таким образом

\angle{CBE} = 90^{\circ} - \angle{CBD} = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \angle{BAC}) = \angle{BAC}.

4. Пусть $E$ – точка пересечения хорд $AC$ и $BD$ . Рассмотрим треугольник $AED$ . Мы знаем, что $\angle{BDA} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{AB}$ и $\angle{CAD} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{CD}$ . Тогда получаем:

\angle{AED} = 180^{\circ} - \angle{BDA} - \angle{CAD} = 180^{\circ} - \dfrac{\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{CD}}{2}.

Значит,

\angle{CED} = 180^{\circ} - \angle{AED} = \dfrac{\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{CD}}{2}.

5. Рассмотрим треугольник $MDB$ . Мы знаем, что $\angle{MBD} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{CD}$ и $\angle{ADB} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{AB}$ . Угол $ADB$ – внешний для треугольника $MDB$ , значит,

\angle{ADB} = \angle{DMB} + \angle{MBD},

то есть $\angle{DMB} = \angle{ADB} - \angle{MBD} = \dfrac{\stackrel{\smile}{AB} - \stackrel{\smile}{CD}}{2}$ .

6. Рассмотрим треугольник $ABC$ . По теореме об угле между касательной и хордой получаем, что $\angle{BAC} = \angle{CBM}$ . По теореме о вписанном угле мы знаем, что $\angle{ACB} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{BA}$ и $\angle{CBM} = \angle{BAC} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{CB}$ . Угол $ACB$ является внешним для треугольника $MBC$ , значит,

\angle{ACB} = \angle{CBM} + \angle{CMB},

то есть

\angle{CMB} = \angle{ACB} - \angle{CBM} = \dfrac{\stackrel{\smile}{BA} - \stackrel{\smile}{CB}}{2}.

7. Четырёхугольник $AOBM$ – дельтоид, потому, что $AO$ и $OB$ – радиусы окружности, $MA$ и $MB$ – касательные, проведённые из одной точки. При этом по теореме об угле между касательной и радиусом получаем, что $\angle{OAM} = \angle{OBM} = 90^{\circ}$ , значит, вокруг $AOBM$ можно описать окружность. Поэтому $\angle{AOB} + \angle{AMB} = 180^{\circ}$ . Угол $AOB$ – центральный, поэтому $\angle{AOB} = \stackrel{\smile}{AB}$ . Также мы знаем, что $\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{BA} = 360^{\circ}$ , то есть $\dfrac{\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{BA}}{2} = 180^{\circ}$ . Значит

\stackrel{\smile}{AB} + \angle{AMB} = \dfrac{\stackrel{\smile}{AB} + \stackrel{\smile}{BA}}{2},

то есть $\angle{AMB} = \dfrac{\stackrel{\smile}{BA} - \stackrel{\smile}{AB}}{2}$ .

8. Для начала рассмотрим случай, когда точка $C_2$ лежит на окружности. Тогда угол $\angle{AC_2B}$ опирается на диаметр окружности, значит, по теореме о вписанном угле следует, что $\angle{AC_2B} = 90^{\circ}$ .

Далее рассмотрим случай $1$ . Пусть точка $C_1$ лежит внутри окружности. Продлим отрезок $AC_1$ до пересечения с окружностью в точке $D$ . Тогда $\angle{ADB} = 90^{\circ}$ , значит, $\angle{BC_1D} < 90^{\circ}$ , так как $\angle{BC_1D}$ – угол между катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике $BDC_1$ . Таким образом, получаем, что $\angle{AC_1B} = 180^{\circ} - \angle{BC_1D} > 90^{\circ}$ .

Рассмотрим случай $3$ . Пусть точка $C_3$ лежит вне окружности и $D$ – точка пересечения отрезка $AC_3$ с окружностью. Тогда $\angle{ADB} = 90^{\circ}$ , поэтому $\angle{BDC_3} = 90^{\circ}$ , значит,

$\angle{BC_3D} < 90^{\circ}$ .

9. Так как отрезки $AD$ и $BC$ параллельны, то углы $DAC$ и $ACB$ равны как внутренние накрест лежащие, значит, они опираются на равные дуги.

10. Углы $CAD$ и $ACB$ равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых. При этом по теореме об угле между касательной и хордой получаем, что $\angle{CAD} = \angle{ABC}$ . Значит, $\angle{ACB} = \angle{ABC}$ , поэтому равны и соответствующие им дуги $\stackrel{\smile}{AB}$ .

11. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $DOC$ . $AO = OB = DO = OC$ , так как это радиусы окружности, при этом $AB = CD$ , значит, треугольники $AOB$ и $DOC$ равны по трём сторонам, поэтому $\angle{AOB} = \angle{DOC}$ , то есть равны и соответствующие этим центральным углам дуги, то есть $\stackrel{\smile}{AB} = \stackrel{\smile}{DC}$ .

12. Пусть $CD$ – диаметр, $AB$ – хорда перпендикулярная $CD$ . Рассмотрим треугольник $AOB$ , он равнобедренный, так как $OA$ и $OB$ – радиусы окружности. $OM$ – высота треугольника $AOB$ , проведённая к основанию, значит $OM$ также является биссектрисой. Поэтому дуги, на которые опираются центральные углы $AOD$ и $BOD$ , равны. Аналогично доказывается, что $\stackrel{\smile}{AC} = \stackrel{\smile}{CB}$ .

Обратно, пусть диаметр $CD$ проходит проходит через середину хорды $AB$ . $AOB$ – равнобедренный треугольник, а значит $OM$ – высота треугольника $AOB$ , то есть диаметр окружности перпендикулярен хорде $AB$ .

13. Рассмотрим треугольники $DEA$ и $CEB$ . Вписанные углы $ADC$ и $ABC$ опираются на одну и ту же дугу, значит, $\angle{ADC} = \angle{ABC}$ . Аналогично получаем, что $\angle{DAB} = \angle{DCB}$ , значит, треугольники $DEA$ и $CEB$ подобны по двум углам. Таким образом,

\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{EB},

значит,

AE\cdot EB = DE\cdot EC.

14. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $BCM$ . По теореме об угле между касательной и хордой получаем, что $\angle{BAC} = \angle{CBM}$ . Угол $BMA$ общий для треугольников $ABM$ и $BCM$ , значит, они подобны. Получаем, что

\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MC}{MB},

значит, $MB^2 = MC\cdot MA$ .

Треугольник $OBM$ – прямоугольный, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, по теореме Пифагора получаем, что

OM^2 = OB^2 + MB^2,

значит,

MB^2 = a^2 - r^2.