6 Медиана

Медиана

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. $S_{ABM}=S_{MBC}=\dfrac{S}{2}.$
2. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей: $S_{AMC'}=S_{C'BM}=S_{MBA'}=S_{A'MC}=$ $= S_{CB'M} =S_{MAB'}=\dfrac{S}{6}.$

3. В параллелограмме со сторонами $a$ , $b$ и диагоналями $d_1$ , $d_2$ выполняется тождество параллелограмма:

d^2_1 + d^2_2 = 2(a^2 + b^2).

4. Формула для нахождения длины медианы треугольника:

m_b^2=\dfrac{2a^2+2с^2-b^2}{4}.

Медиана

1. Треугольники $ABM$ и $BMC$ имеют общую высоту $BH$ , равную $h$ . Пусть $AC = a$ , тогда:

S_{ABM} = S_{MBC} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}h = \dfrac{S}{2}.

2. Мы знаем, что:

S_{AMB'} = S_{B'MC};\;\;\; S_{AMC'} = S_{C'MB};\;\;\; S_{CMA'} = S_{A'MB}.

Известно, что площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания. Медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1$ , поэтому

S_{BAM} = 2S_{AMB'}\;\;\;\text{и}\;\;\; S_{BCM} = 2S_{B'MC},

а значит

S_{AMB'} = S_{AMC'} = S_{C'MB} = S_{B'MC} = S_{CMA'} = S_{A'MB} = \dfrac{S}{6}.

3. Пусть $\angle{BAD} = \alpha$ . По теореме косинусов получаем, что

d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\alpha}.

$\angle{ABC} = 180^{\circ} - \alpha$ , так как $ABCD$ – параллелограмм. Также мы знаем, что

\cos{(180^{\circ} - \alpha)} = \cos{\alpha}.

По теореме косинусов получаем второе соотношение:

d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos{\alpha}.

Сложим полученные равенства:

d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2).

4. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на её длину, получим точку $D$ такую, что $BM = MD$ . Получим параллелограмм $ABCD$ . Для него тождество параллелограмма запишется следующим образом:

b^2 + (2m)^2 = 2(a^2+c^2).

Выразив $m^2$ , получаем:

m^2=\dfrac{2a^2+2с^2-b^2}{4}.