13 Свойства ортоцентра

Свойства ортоцентра

1. Пусть в треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ . Тогда вокруг четырёхугольников $AC_1HB_1$ , $CB_1HA_1$ , $BC_1HA_1$ и $AC_1A_1C$ , $BC_1B_1C$ , $AB_1A_1B$ можно описать окружности.

2. Пусть в треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ . Треугольник $A_1B_1C_1$ называется ортотреугольником, а высоты треугольника $ABC$ содержат биссектрисы углов треугольника $A_1B_1C_1$ .

3. Пусть в треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ , которые пересекают описанную вокруг $ABC$ окружность в точках $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ соответственно. Тогда

HA_1 = A_1A_2;\;\;\; HB_1 = B_1B_2;\;\;\; HC_1 = C_1C_2,

где $H$ – ортоцентр треугольника.

4. Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$ , $M$ – середина стороны $AB$ , $P$ – точка пересечения прямой $HM$ описанной вокруг $ABC$ окружностью, тогда $PM = MH$ .

5. Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$ , $O$ – центр описанной вокруг $ABC$ окружности. Тогда расстояние от точки $B$ до $H$ вдвое больше, чем расстояние от точки $O$ до стороны $AC$ .

6. $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$ , $O$ – центр описанной вокруг $ABC$ окружности, тогда $\angle{ABO} = \angle{HBC}$ .

7. $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$ , $O$ – центр описанной вокруг $ABC$ окружности, проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$ , тогда $BO\perp A_1C_1$ .

Свойства ортоцентра

1. Докажем утверждение для четырёхугольников $AC_1HB_1$ и $AC_1A_1C$ .

Мы знаем, что $\angle{AC_1H} = \angle{AB_1H} = 90^{\circ}$ , поэтому $\angle{AC_1H} + \angle{AB_1H} = 180^{\circ}$ , значит по первому признаку вписанного четырёхугольника мы можем описать окружность вокруг четырёхугольника $AC_1HB_1$ .

В четырёхугольнике $AC_1A_1C$ углы $AC_1C$ и $AA_1C$ опираются на одну и ту же сторону и равны $90^{\circ}$ , значит, по второму признаку вписанного четырёхугольника мы можем описать окружность вокруг четырёхугольника $AC_1A_1C$ .

2. Докажем, что высота $CC_1$ делит угол $\angle{A_1C_1B_1}$ пополам. Для остальных углов доказательство будет аналогичным.

Рассмотрим четырёхугольники $AC_1HB_1$ и $AC_1A_1C$ . Вокруг $AC_1HB_1$ можно описать окружность, поэтому $\angle{HAB_1} = \angle{B_1C_1H}$ , так как эти углы опираются на одну и ту же дугу. Вокруг $AC_1A_1C$ можно описать окружность, поэтому $\angle{A_1AC} = \angle{A_1C_1C}$ , а значит, $\angle{A_1C_1C} = \angle{B_1C_1H}$ , то есть высота $CC_1$ делит угол $\angle{A_1C_1B_1}$ пополам.

3. Докажем, что $HA_1 = A_1A_2$ , остальные равенства будут доказываться аналогично.

Вписанные углы $\angle{CBA_2}$ и $\angle{A_2AC}$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому

$\angle{CBA_2} = \angle{A_2AC}$ . При этом вокруг четырёхугольника $AB_1A_1B$ можно описать окружность (так как $\angle{AB_1B} = \angle{AA_1B} = 90^{\circ}$ ), а значит, $\angle{A_1AB_1} = \angle{A_1BB_1}$ , причём $\angle{A_1AB_1} = \angle{CBA_2}$ , то есть $\angle{A_1BB_1} = \angle{CBA_2}$ . Таким образом $BA_1$ – биссектриса треугольника $HBA_2$ , при этом она также является высотой этого треугольника, а значит, $HBA_2$ – равнобедренный, поэтому $BA_1$ также является медианой, то есть $HA_1 = A_1A_2$ .

4. Отрезок $OM$ перпендикулярен стороне $AC$ , так как $M$ – середина стороны $AC$ и $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $ABC$ . Пусть $AA_1$ и $CC_1$ – высоты треугольника. Проведём диаметр окружности $BP$ . Углы $\angle{PAB}$ и $\angle{PCB}$ опираются на диаметр, поэтому $\angle{PAB} = \angle{PCB} = 90^{\circ}$ . $\angle{AC_1C} = 90^{\circ}$ , поэтому отрезки $AP$ и $C_1C$ параллельны, в частности параллельны отрезки $AP$ и $HC$ . $\angle{AA_1C} = 90^{\circ}$ , поэтому отрезки $CP$ и $A_1A$ , параллельны, в частности параллельны отрезки $CP$ и $AH$ . Получаем, что в четырёхугольнике $AHCP$ противоположные стороны параллельны, а значит, $AHCP$ – параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому $MH = PM$ .

5. Пусть луч $HM$ пересекает окружность в точке $P$ ( $M$ – середина стороны $AC$ ). $OM$ – серединный перпендикуляр к стороне $AC$ . $BH$ – часть высоты, проведённой к стороне $AC$ , значит, отрезки $OM$ и $BH$ параллельны, поэтому $\angle{PBH} = \angle{POM}$ . Значит, треугольники $PBH$ и $POM$ подобны по двум углам (угол $BPH$ является общим) с коэффициентом подобия $2$ , значит $BH = 2OM$ .

6. Рассмотрим треугольник $AOB$ , он является равнобедренным, а значит высота $OM$ в нём также является биссектрисой. Центральный угол $\angle{AOB}$ и вписанный угол $\angle{ACB}$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому $\angle{ACB} = \dfrac{1}{2}\angle{AOB}$ . Так как $OM$ – биссектриса угла $\angle{AOB}$ , то $\angle{MOB} = \angle{ACB}$ . Таким образом в прямоугольных треугольниках $MOB$ и $B_1CB$ имеем, что $\angle{MOB} = \angle{B_1CB}$ , значит, $\angle{ABO} = \angle{B_1BC} = \angle{HBC}$ .

7. Пусть $L$ – точка пересечения $BO$ и $A_1C_1$ . Четырёхугольник $AC_1A_1C$ является вписанным, поэтому. Мы знаем, что $\angle{BAB_1} = \angle{BA_1C_1}$ , при этом $\angle{ABB_1} = \angle{OBC}$ , значит, в треугольниках $ABB_1$ и $A_1BL$ совпадают два угла, следовательно, совпадают все три: $\angle{AB_1B} = \angle{A_1LB} = 90^{\circ}$ .