1 Углы

Углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

1. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ .

\angle 1+\angle 2=180^{\circ}

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных.

2. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

3. Вертикальные углы равны.

\angle 1=\angle 3

\angle 2=\angle 4

Пусть даны две параллельные прямые и их секущая, тогда углы $1$ и $5$ , $2$ и $6$ , $3$ и $7$ , $4$ и $8$ называются соответственными, углы $3$ и $6$ , $4$ и $5$ называются накрест лежащими, углы $3$ и $5$ , $4$ и $6$ называются внутренними односторонними.

4. Соответственные углы равны:

\angle{1} = \angle{5},\;\;\; \angle{2} = \angle{6},\;\;\; \angle{3} = \angle{7},\;\;\;\angle{4} = \angle{8};

Накрест лежащие углы равны:

\angle{3} = \angle{6};\;\;\; \angle{4} = \angle{5};

Внутренние односторонние углы в сумме дают $180$ градусов:

\angle{3} + \angle{5} = 180^{\circ};\;\;\; \angle{4} + \angle{6} = 180^{\circ}.

5. Биссектрисы внутренних односторонних углов перпендикулярны.

6. Сумма внутренних углов произвольного выпуклого $n$ -угольника равна $180^{\circ}\cdot (n-2)$ .

Например, если $n = 6$ , то

\angle{A_1} + \angle{A_2} + \angle{A_3} + \angle{A_4} + \angle{A_5} + \angle{A_6} = 180^{\circ}\cdot (6-2) = 720^{\circ}.

Внешним углом многоугольника будем называть угол, смежный внутреннему углу многоугольника.

7. Сумма внешних углов в выпуклом многоугольнике равна $360^{\circ}$ .

Углы

2. Нам известно, что

\angle{1} = \angle{2};

\angle{3} = \angle{4};

Тогда получаем:

\angle{1} + \angle{2} + \angle{3} + \angle{4} = 2\cdot(\angle{2} + \angle{3}) = 180^{\circ}\;\Longrightarrow \angle{2} + \angle{3} = 90^{\circ}.

5. Доказательство 1. Углы $\angle{A}$ и $\angle{B}$ – внутренние односторонние, поэтому

\angle{A} + \angle{B} = 180^{\circ}\;\Longrightarrow \angle{ABC} + \angle{BAC} = 90^{\circ}.

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ , поэтому

\angle{ACB} = 180^{\circ} - (\angle{ABC} + \angle{BAC}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}.

Доказательство 2. Пусть $\ell_1$ и $\ell_2$ две параллельные прямые, на которых лежат точки $B$ и $A$ соответственно. Точка $D$ – пересечение биссектрисы угла $B$ с прямой $\ell_2$ . Угол между прямыми $\ell_2$ и $BD$ равен углу между $\ell_1$ и $BD$ (так как эти углы являются накрест лежащими), при этом $BD$ – биссектриса угла $B$ , поэтому угол между $AB$ и $BD$ равен углу между $\ell_1$ и $BD$ . Отсюда следует, что $\angle{ADB} = \angle{DBA}$ , значит треугольник $ABD$ – равнобедренный, поэтому биссектриса угла $A$ также является высотой, то есть биссектрисы углов $A$ и $B$ перпендикулярны.

6. Проведём всевозможные диагонали, проходящие через точку $A_1$ . Всего таких диагоналей $n - 3$ штуки (так как $A_1A_2$ и $A_1A_n$ – рёбра многоугольника). Наш многоугольник разбивается на $n - 2$ треугольника, значит сумма всех углов многоугольника равна сумме всех углов этих треугольников. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$ , поэтому

\angle {A_1} + \ldots + \angle{A_n} = 180^{\circ} (n - 2).

7. Углы, смежные углам нашего многоугольника, будут равны

180^{\circ} - \angle{A_1}, \ldots , 180^{\circ} - \angle{A_n}

Значит сумма внешних углов $n$ -угольника равна:

(180^{\circ} - \angle{A_1}) + \ldots + (180^{\circ} - \angle{A_n}) = n\cdot 180^{\circ} - 180^{\circ}\cdot (n-2) = 360^{\circ}.