3 Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

1. Напротив угла в $30^{\circ}$ лежит катет, равный половине гипотенузы: если $\alpha=30^{\circ}$ , тогда $2a=c$ .

Замечание: Если в прямоугольном треугольнике катет в два раза меньше гипотенузы, то напротив этого катета угол $30^{\circ}$ .

Замечание: Если сторона напротив угла $30^{\circ}$ вдвое меньше прилежащей к углу стороне, то треугольник прямоугольный (это не школьная теорема).

2. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2+b^2=c^2.$ Верно и обратное: Если в треугольнике $ABC$ со сторонами $a$ , $b$ , $c$ верно, что $a^2 + b^2 = c^2,$ то угол, лежащий напротив стороны длина которой равна $c$ , равен $90^{\circ}$ .
3. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Верно и обратное: если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то эта медиана исходит из вершины прямого угла. То есть наш треугольник – прямоугольный.
4. Гипотенуза является диаметром, а ее середина – центром окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $\angle{C}$ – прямой), $CH$ – высота, тогда треугольники $ABC$ , $ACH$ , $CBH$ подобны.
6. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, вычисляется по формуле: $h=\dfrac{ab}{c}\;\;\;\text{или}\;\;\;h^2=c_ac_b.$ Также верны следующие соотношения: $c_ac=a^2\;\;\;\text{или}\;\;\;c_bc=b^2,$ где $c_a$ и $c_b$ – проекции катетов на гипотенузу.

7. Пусть $x_a$ , $x_b$ , $x_c$ – соответственные линейные элементы прямоугольных треугольников с гипотенузами $a$ , $b$ , $c$ соответственно, тогда

x^2_a + x^2_b = x^2_c.

Замечание: Обратите внимание, что это могут быть как отдельные соответственные элементы, так и их линейные комбинации: $I_a$ , $I_b$ , $I_c$ (центры ); $p_a$ , $p_b$ , $p_c$ ; $r_a + R_a$ , $r_b + R_b$ , $r_c + R_c$ и т.д.

Например, пусть $p_a$ , $p_b$ , $p_c$ – полупериметры соответственно треугольников $CBH$ , $ACH$ , $ABC$ , тогда $p^2_a + p^2_b = p^2_c.$

Если $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ – радиусы вписанных окружностей, $R_a, R_b, R_c$ – радиусы описанных окружностей треугольников $CBH$ , $ACH$ , $ABC$ , тогда $(r_a + R_a)^2 + (r_b + R_b)^2 = (r_c + R_c)^2$ .

8. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен разности острых углов треугольника.

9. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

r = \dfrac{a+b-c}{2}.

10. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла является также биссектрисой треугольника, образованного высотой, медианой (которые проведены из вершины прямого угла) и отрезком гипотенузы.

Верно и обратное: если в треугольнике биссектриса делит пополам угол между высотой и медианой, исходящими из того же угла, то такой треугольник является прямоугольным.

Прямоугольный треугольник

1. Отложим от точки $C$ отрезок $B'C$ , такой что $B'C = BC = a$ , и точки $B$ , $C$ , $B'$ – лежат на одной прямой. Тогда в треугольнике $ABB'$ $AC$ – высота и медиана, значит, $ABB'$ – равнобедренный треугольник ( $\angle{B'} = \angle{B}$ ). $AC$ – биссектриса угла $\angle{B'AB}$ , поэтому $\angle{B'AB} = 60^{\circ}$ , отсюда следует, что оставшиеся углы треугольника также равны $60^{\circ}$ , то есть $ABB'$ – равносторонний треугольник, в частности $2a = BB' = AB = c$ .

Замечание: Пусть в треугольнике $ABC$ $\angle{CAB} = 30^{\circ}$ , $BC = a$ , $AB = 2a$ , $AC = b$ . Воспользуемся теоремой косинусов:

a^2 = (2a)^2 + b^2 - 2ab\cos{30^{\circ}}\Longleftrightarrow b^2 - 2\sqrt{3}ab + 3a^2 = 0\Longleftrightarrow (b - a\sqrt{3})^2 = 0\Longleftrightarrow b = a\sqrt{3}.

Заметим, что для треугольника со сторонами $a$ , $\sqrt{3}a$ , $2a$ верна теорема Пифагора:

a^2 + (\sqrt{3}a)^2 = 4a^2 = (2a)^2.

Значит $ABC$ – прямоугольный треугольник.

2. Достроим треугольник $ABC$ до квадрата $CHFD$ со стороной $(a+b)$ как показано на рисунке. Треугольники $ABC$ , $GAH$ , $EGF$ , $BED$ равны по двум сторонам (катетам) и углу между ними. $\alpha + \beta = 90^{\circ}$ , поэтому $AGEB$ – квадрат. Таким образом, площадь квадрата $CHFD$ равна, с одной стороны $(a + b)^2$ , с другой стороны $4\cdot\dfrac{ab}{2} + c^2$ , то есть

(a + b)^2 = 2ab + c^2\;\;\;\Longrightarrow\;\;\; a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2\;\;\;\Longrightarrow\;\;\;a^2 + b^2 = c^2.

Докажем обратное утверждение. Пусть в треугольнике $ABC$ со сторонами $CB = a$ , $AC = b$ , $AB = c$ выполнено равенство верно $a^2 + b^2 = c^2$ . Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$ , так что $C_1B_1 = a$ , $A_1C_1 = b$ . По теореме Пифагора $A_1B_1^2 = a^2 + b^2 = AB^2 = c^2$ , то есть $A_1B_1 = AB = c$ , значит треугольники $ABC$ , $A_1B_1C_1$ равны по трём сторонам, значит $ABC$ – прямоугольный.

Рассмотрим альтернативное доказательство с помощью утверждения 6. Верны следующие равенства: $c_ac = a^2$ и $c_bc = b^2$ . Просуммируем эти равенства

a^2 + b^2 = c_ac + c_bc\;\Rightarrow\; a^2 + b^2 = c(c_a + c_b).

Так как $c_a + c_b = c$ , то

a^2 + b^2 = c^2.

3. Продлим медиану $CM$ на её длину до точки $D$ , то есть $CM = MD$ . Треугольники $CMB$ и $MDA$ равны по двум сторонам и углу между ними ( $CM$ = $MD$ , $BM$ = $MA$ , $\angle{CMB} = \angle{AMD}$ , так как они являются вертикальными), значит, $\angle{CBM} = \angle{MAD}$ . Аналогично, подобны треугольники $CAM$ и $DBM$ , а, значит, $\angle{CAM} = \angle{MBD}$ . Таким образом, треугольники $ABC$ и $BAD$ равны, значит $CADB$ – прямоугольник, в котором $AB$ и $CD$ – диагонали, они равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому

CM = AM = MD = \dfrac{1}{2}AB.

Докажем обратное утверждение: опишем вокруг треугольника $ABC$ окружность. Нам известно, что $CM = AM = MB$ , поэтому радиус описанной окружности равен $AM$ и $M$ – центр окружности, $AB$ – диаметр окружности, угол $\angle{ACB}$ равен $90^{\circ}$ , так как он опирается на диаметр окружности, значит, наш треугольник является прямоугольным.

5. $\angle{HCB} = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \beta) = 90^{\circ} - \beta = \alpha$ , значит треугольники $ABC$ и $CBH$ подобны по трём углам. Аналогично, $\angle{ACH} = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \alpha) = 90^{\circ} - \alpha = \beta$ , то есть треугольники $ABC$ и $ACH$ подобны. Из подобия этих двух пар треугольников следует, что треугольники $AHC$ и $CHB$ подобны.
6. Так как треугольники $ABC$ и $ACH$ подобны, то мы можем записать соотношение: $\dfrac{CH}{CB} = \dfrac{AC}{AB}\;\;\;\text{или}\;\;\;\dfrac{h}{a} = \dfrac{b}{c}\;\;\;\Longrightarrow h = \dfrac{ab}{c}.$ А также: $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AH}{AC}\;\;\;\text{или}\;\;\;\dfrac{b}{c} = \dfrac{c_b}{b}\;\;\;\Longrightarrow c_bc=b^2.$ Из подобия треугольников $ACH$ и $CBH$ получаем: $\dfrac{CH}{AH} = \dfrac{HB}{CH}\;\;\;\text{или}\;\;\;\dfrac{h}{c_b} = \dfrac{c_a}{h}\;\;\;\Longrightarrow h^2 = c_ac_b.$ Из подобия $ABC$ и $CBH$ следует: $\dfrac{CB}{AB} = \dfrac{HB}{CB}\;\;\;\text{или}\;\;\;\dfrac{a}{c} = \dfrac{c_a}{a}\Longrightarrow c_ac=a^2.$
7. В подобных треугольниках линейные элементы относятся также как стороны этих треугольников. Поэтому для треугольников $ABC$ и $CBH$ получаем: $\dfrac{a}{c} = \dfrac{x_a}{x_c}.$ Для треугольников $ABC$ и $ACH$ : $\dfrac{b}{c} = \dfrac{x_b}{x_c}.$ Возведём в квадрат оба равенства и сложим: $\dfrac{a^2 + b^2}{c^2} = \dfrac{x^2_a + x^2_b}{x^2_c}.$ $\dfrac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$ , поэтому $x^2_a + x^2_b = x^2_c$ .
8. Докажем данное утверждение при $\beta > \alpha$ . $CM$ – медиана исходящая из прямого угла, поэтому $CM = MA$ , значит $\angle{ACM} = \angle{MAC} = \alpha$ . Мы знаем, что $\alpha + \beta = 90^{\circ}.$ Треугольник $HCB$ прямоугольный, поэтому $\angle{HCB} + \angle{HBC} = 90^{\circ}$ , то есть $\angle{HCB} = 90^{\circ} - \beta = \alpha$ . С одной стороны, $\angle{MCH} + 2\alpha = 90^{\circ}$ , с другой $\alpha + \beta = 90^{\circ}$ , значит, $\angle{MCH} + 2\alpha = \alpha + \beta$ То есть $\angle{MCH} = \beta - \alpha.$
9. $B'C = CA' = r$ , $A'B = BC' = a-r$ , $B'A = AC' = b-r$ , значит, $c = (a - r) + (b - r)$ Следовательно, $2r = a + b - c \text{ или } r = \dfrac{a + b - c}{2}.$
10. $CM$ – медиана исходящая из прямого угла, поэтому $CM = MB$ , значит, $\angle{MBC} = \angle{MCB}$ . $ABC$ – прямоугольный, поэтому $\angle{CAB} + \angle{MBC} = 90^{\circ}$ , $ACH$ также является прямоугольным, поэтому $\angle{CAB} + \angle{ACH} = 90^{\circ}.$ Таким образом, мы получаем, что $\angle{MBC} = \angle{MCB} = \angle{ACH},$ но биссектриса делит $\angle{ACB}$ пополам, значит, и угол $\angle{HCM}$ она делит пополам.