4 Площади

Площади

1. Если $a$ – длина стороны квадрата, то его площадь можно найти по формуле: $S = a^2.$
2. Если $a$ и $b$ – длины сторон прямоугольника, то его площадь можно найти по формуле: $S = ab.$

3. Если $a$ и $b$ – длины сторон параллелограмма, $h_a$ и $h_b$ – длины высот параллелограмма, тогда можно найти его площадь по формулам:

S = ah_a = bh_b.

4. Если $a$ и $b$ – длины сторон параллелограмма, $\alpha$ – угол между этими сторонами, тогда мы можем найти площадь параллелограмма по формуле:

S = ab\sin\alpha.

5. Если $a$ – длина стороны треугольника, $h$ – длина высоты, проведённой к данной стороне, тогда площадь треугольника мы можем найти по формуле:

S = \frac{ah}{2}.

6. Если $a$ , $b$ – длины сторон треугольника, $\alpha$ – угол между этими сторонами, тогда площадь треугольника мы можем найти по формуле:

S = \frac{1}{2}ab\sin{\alpha}.

7. Если $a$ и $b$ – длины оснований трапеции, $h$ – длина высота трапеции, то мы можем найти площадь трапеции по формуле:

S = \frac{a+b}{2}\cdot h.

8. Если $d_1$ и $d_2$ – длины диагоналей ромба, тогда площадь ромба мы можем найти по формуле:

S = \frac{d_1d_2}{2}.

9. Если $a$ , $b$ , $c$ – длины сторон треугольника, $p$ – полупериметр треугольника, тогда площадь треугольника $ABC$ мы можем найти по формуле Герона:

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

10. Пусть $p$ – полупериметр треугольника, $r$ – длина радиуса окружности, вписанной в данный треугольник, тогда площадь мы можем найти по формуле:

S = pr.

11. Если $p$ – полупериметр многоугольника, $r$ – длина радиуса окружности, вписанной в этот многоугольник, тогда его площадь можно найти по формуле:

S = pr.

12. Если $d_1$ , $d_2$ – длины диагоналей четырёхугольника $ABCD$ , $\alpha$ – угол между этими диагоналями, тогда площадь этого четырёхугольника равна:

S = \dfrac{d_1d_2\sin{\alpha}}{2}.

13. Пусть $R$ – длина радиуса окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$ ; $a$ , $b$ , $c$ – длины сторон треугольника $ABC$ . Тогда площадь данного треугольника можно найти по формуле:

S = \dfrac{abc}{4R}.

14. Пусть $p$ – полупериметр треугольника $ABC$ ; $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ – длины радиусов вневписанных окружностей. Тогда площадь треугольника $ABC$ можно найти по формулам:

S = r_a(p-a);\;\;\; S = r_b(p-b);\;\;\; S = r_c(p-c).

Замечание: Из данных соотношений и формулы $S = p\cdot r$ ( $r$ – радиус вписанной окружности) легко получить, что

\dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{r_a} + \dfrac{1}{r_b} + \dfrac{1}{r_c}.

Замечание: Из формулы Герона следует, что

S = \sqrt{r\cdot r_a\cdot r_b\cdot r_c}.

15. Площадь круга с радиусом длины $r$ равна $S = \pi r^2.$
16. Площадь сектора круга с углом $\alpha$ (в радианах) и радиусом длины $r$ равна $S = \dfrac{r^2\alpha}{2}.$
17. Площадь сегмента круга с углом $\alpha$ (в радианах) радиусом длины $r$ равна $S = \dfrac{\alpha-\sin{\alpha}}{2}\cdot r^2.$

Площади

3. Докажем, что $S = ah_a$ .

Будем считать, что угол $BAD$ является острым. Через точки $B$ и $C$ проведём высоты $BH$ и $CK$ . Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $DCK$ . $BH = CK = h_{a}$ , также $AB = DC$ , так как $ABCD$ – параллелограмм, значит, треугольники $ABH$ и $DCK$ равны (для равенства двух прямоугольных треугольников достаточно равенства двух сторон), из чего следует, что $AH = DK$ , поэтому $HK = a$ .

Рассмотрим прямоугольник $BHKC$ : его стороны равны $a$ и $h_a$ . Имеем:

S_{ABCD} = S_{ABH} + S_{BHDC};

S_{BHKC} = S_{DCK} + S_{BHDC} = ah_a.

$S_{ABH} = S_{DCK}$ , значит, $S_{ABCD} = S_{BHKC} = ah_a$ .

4. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Сначала будем считать, что угол $BAD$ является острым. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ( $BH$ – высота параллелограмма), тогда получаем:

\sin{\alpha} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{h_a}{b},

значит

h_a = b\sin{\alpha}.

Следовательно,

S = ah_a = ab\sin{\alpha}.

Случай 2. Если $\angle{BAD}$ – тупой угол, то $\angle{ABC} = 180^{\circ} - \alpha$ – острый. Отсюда получаем:

S_{ABCD} = AB\cdot BC\cdot\sin{(\angle{ABC})} = ab\sin{(180^{\circ} - \alpha)} = ab\sin{\alpha}.

5. Проведём через точку $B$ прямую параллельно $AC$ , аналогично проведём через $A$ прямую параллельно $BC$ . Пусть данные прямые пересекаются в точке $D$ .

$ACBD$ – параллелограмм, так как $CA || BD$ и $CB || AD$ . Треугольники $ACB$ и $BDA$ равны по трём сторонам, значит $S_{ACB} = S_{BDA}$ , при этом

S_{ACBD} = S_{ACB} + S_{BDA} = 2S_{ACB},

значит

S_{ACB} = \dfrac{S_{ACBD}}{2} = \dfrac{ah}{2}.

6. Как и в предыдущем доказательстве, построим параллелограмм $ABDC$ , его площадь равна $S = ab\sin{\alpha}$ , значит $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}ab\sin{\alpha}$ .

7. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $BDC$ . Высота трапеции равна высоте треугольника $ABD$ к стороне $AD$ и равна высоте треугольника $BDC$ к стороне $BC$ . Получаем:

S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BDC} = \dfrac{ah}{2} + \dfrac{bh}{2} = \dfrac{a+b}{2}\cdot h.

8. Пусть диагонали ромба пересекаются в точке $H$ . Ромб является параллелограммом, поэтому диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть

AH = HC = \dfrac{d_1}{2}; BH = HD = \dfrac{d_2}{2}.

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольники $ABH$ , $ADH$ , $BCH$ , $CDH$ – прямоугольные с катетами $\dfrac{d_1}{2}$ и $\dfrac{d_2}{2}$ , их площади равны: $\dfrac{\dfrac{d_1}{2}\cdot \dfrac{d_2}{2}}{2} = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{8}$ . Получаем: $S_{ABCD} = S_{ABH} + S_{ADH} + S_{BCH} + S_{CDH} = 4\cdot\dfrac{d_1 \cdot d_2}{8} = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$ .

9. Пусть $\angle{BAC} = \alpha$ , тогда по теореме косинусов получаем:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{\alpha}.

Откуда получаем:

\cos{\alpha} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\;\Longrightarrow \cos^2{\alpha} = \dfrac{(b^2 + c^2 - a^2)^2}{(2bc)^2}\;\Longleftrightarrow 1 - \sin^2{\alpha} = \dfrac{(b^2 + c^2 - a^2)^2}{(2bc)^2}\;\;\;\Longleftrightarrow

\sin^2{\alpha} = 1 - \dfrac{(b^2 + c^2 - a^2)^2}{4(bc)^2} = \dfrac{(2bc - b^2 - c^2 + a^2)(2bc + b^2 + c^2 - a^2)}{4b^2c^2} =

= \dfrac{(a^2 - (b - c)^2)((b+c)^2 - a^2)}{4b^2c^2} = \dfrac{(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a)(b + c + a)}{4b^2c^2}.

Мы знаем, что $S = \dfrac{1}{2}bc\sin{\alpha}$ , получаем:

S^2 = \dfrac{b^2c^2}{4}\cdot \sin^2{\alpha} = \dfrac{(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a)(b + c + a)}{16} =

= \dfrac{((a + b + c) - 2a)((a + b + c) - 2b)((a + b + c) - 2c)(a + b + c)}{16} =

= \dfrac{(a + b + c)}{2}\cdot \left(\dfrac{(a + b + c)}{2} - a\right)\cdot \left(\dfrac{(a + b + c)}{2} - b\right)\cdot \left(\dfrac{(a + b + c)}{2} - c\right) = p(p - a)(p - b)(p - c).

Значит, $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ .

10. Пусть $I$ – центр вписанной окружности. Рассмотрим треугольники $AIB$ , $AIC$ , $BIC$ . Имеем:

S_{AIB} = \dfrac{1}{2}b\cdot r;\;\;\; S_{AIC} = \dfrac{1}{2}a\cdot r;\;\;\;S_{BIC} = \dfrac{1}{2}c\cdot r.

Получаем:

S_{ABC} = S_{AIC} + S_{AIB} + S_{BIC} = \dfrac{a+b+c}{2}\cdot r = pr.

11. Разобьём $n-$ угольник на $n$ треугольников так, что одна из сторон каждого треугольника является стороной многоугольника, а одной из вершин является центр описанной окружности. Пусть $a_1,\ldots , a_n$ – длины сторон многоугольника, тогда площади полученных треугольников равны соответственно

\dfrac{1}{2}\cdot a_1\cdot r,\ldots , \dfrac{1}{2}\cdot a_n\cdot r.

В сумме они дают площадь всего многоугольника, а значит получаем:

S = \dfrac{1}{2}\cdot a_1\cdot r +\ldots +\dfrac{1}{2}\cdot a_n\cdot r = \dfrac{(a_1 + \ldots + a_n)}{2}\cdot r = pr.

12. Для начала отметим, что $\sin{(180^{\circ} - \alpha)} = \sin{\alpha}$ . Найдём площади треугольников $AEB$ , $BEC$ , $CED$ , $DEA$ :

S_{AEB} = \dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot EB\cdot\sin{\alpha};\;S_{BEC} = \dfrac{1}{2}\cdot BE\cdot EC\cdot\sin{\alpha};\;S_{CED} = \dfrac{1}{2}\cdot CE\cdot ED\cdot\sin{\alpha};

S_{DEA} = \dfrac{1}{2}\cdot DE\cdot EA\cdot\sin{\alpha}.

Отсюда получаем:

S_{ABCD} = S_{AEB} + S_{BEC} + S_{CED} + S_{DEA} = \dfrac{1}{2}\cdot\sin{\alpha}\cdot EB \cdot (AE + EC) +

+ \dfrac{1}{2}\cdot\sin{\alpha}\cdot ED \cdot (AE + EC) = \dfrac{1}{2}\cdot\sin{\alpha}\cdot EB \cdot AC + \dfrac{1}{2}\cdot\sin{\alpha}\cdot ED \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot\sin{\alpha}\cdot (BE + ED)\cdot AC =

= \dfrac{1}{2}\cdot\sin{\alpha}\cdot BD \cdot AC = \dfrac{d_1d_2\sin{\alpha}}{2}.

13. Пусть $\angle{BAC} = \alpha$ , тогда из теоремы синусов следует, что

2R = \dfrac{a}{\sin{\alpha}}\;\;\;\Longrightarrow \sin{\alpha} = \dfrac{a}{2R}.

Площадь $ABC$ можно найти по формуле:

S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot\sin{\alpha}.

Получаем:

S_{ABC} = \dfrac{abc}{4R}.

14. Докажем для $r_a$ . На прямой $AB$ отметим точку $D$ , проведем через неё касательную к нашей окружности, пусть эта касательная пересекает прямую $BC$ в точке $E$ . Площадь треугольника $ADE$ равна:

S_{ADE} = \dfrac{(b + c + BD + DE + EC)}{2}\cdot r_a.

Площадь четырёхугольника $S_{BDEC}$ равна:

S_{BDEC} = \dfrac{a + BD + DE + EC}{2}\cdot r_a.

Тогда

S_{ABC} = S_{ADE} - S_{BDEC} = \dfrac{b + c - a}{2}\cdot r_a = \dfrac{a + b + c - 2a}{2}\cdot r_a = (p - a)\cdot r_a.