12 Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанные и описанные четырехугольники

1. (Первый признак). Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180^{\circ}$ .

Другая формулировка: Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда всякий угол равен смежному к своему противоположному.

2. (Второй признак). Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда углы между диагональю и стороной, опирающиеся на одну сторону, равны.

3. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

4. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
5. В любой ромб можно вписать окружность.

6. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

7. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.

Вписанные и описанные четырехугольники

1. Для начала докажем первый вариант формулировки. Пусть четырёхугольник $ABCD$ можно вписать в окружность. Тогда дуги, на которые опираются углы $\angle{A}$ и $\angle{C}$ вместе образуют всю окружность, а значит, сумма градусных мер этих дуг равна $360^{\circ}$ . Из теоремы о вписанном угле следует, что $\angle{A} + \angle{C} = 180^{\circ}$ . Аналогично можем доказать, что

$\angle{B} + \angle{D} = 180^{\circ}$ .

Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника $ABCD$ равна $180^{\circ}$ . Опишем вокруг треугольника $ABC$ окружность. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Пусть точка $D$ лежит внутри окружности. Тогда продлим отрезок $AD$ до пересечения с окружностью в точке $D'$ . Четырёхугольник $ABCD'$ вписан в окружность, а значит, $\angle{ABC} + \angle{AD'C} = 180^{\circ}$ , но также мы знаем, что $\angle{ABC} + \angle{ADC} = 180^{\circ}$ , то есть $\angle{AD'C} = \angle{ADC}$ . Точки $D$ и $D'$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle{AD'C} = \angle{ADC}$ только если отрезки $CD$ и $CD'$ параллельны, что невозможно, так как у них есть общая точка. Значит, $D$ не может лежать внутри окружности.

Случай 2: Пусть точка $D$ лежит вне окружности. Причём $D'$ – точка пересечения отрезка $AD$ с окружностью. Аналогично предыдущему случаю мы можем установить, что $\angle{AD'C} = \angle{ADC}$ . Но это верно только если отрезки $CD$ и $CD'$ параллельны, что также невозможно. Таким образом, точка $D$ не может лежать вне окружности, значит, она лежит на дуге окружности, то есть $ABCD$ – вписанный четырёхугольник.

Покажем, что вторая формулировка равносильна первой. Действительно, если $\alpha = \gamma$ , то $\angle{ADC} + \angle{ABC} = (180^{\circ} - \alpha) + \alpha = 180^{\circ}$ .

Обратно, если $\angle{ABC} + \angle{ADC} = 180^{\circ}$ , то $\gamma = 180^{\circ} - \angle{ADC} = \angle{ABC} = \alpha$ .

2. Пусть четырёхугольник $ABCD$ можно вписать в окружность. Как известно углы, вершины которых лежат на окружности и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит, $\alpha = \angle{BAC} = \angle{CDB} = \beta$ .

Докажем обратное утверждение. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ верно, что

$\angle{BAC} = \angle{BDC}$ . Опишем вокруг треугольника $ABC$ окружность. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Пусть точка $D$ лежит внутри окружности. Тогда продлим отрезки $BD$ и $CD$ до пересечения с окружностью в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. По теореме о вписанном угле мы знаем, что $\angle{BAC} = \dfrac{1}{2}\cdot \stackrel{\smile}{BC}$ , значит, $\angle{BDC} = \dfrac{1}{2}\cdot \stackrel{\smile}{BC}$ . Далее, $\angle{DBC} = \dfrac{1}{2}\cdot \stackrel{\smile}{CB_1}$ и $\angle{BCD} = \dfrac{1}{2}\cdot \stackrel{\smile}{C_1B}$ . Мы знаем, что $\stackrel{\smile}{BC} + \stackrel{\smile}{CB_1} + \stackrel{\smile}{B_1C_1} + \stackrel{\smile}{C_1B} = 360^{\circ}$ , то есть

\angle{BDC} + \angle{DBC} + \angle{BCD} = 180^{\circ} = \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{BC} + \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{CB_1} + \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{C_1B} = 180^{\circ} - \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{B_1C_1} < 180^{\circ}.

Получаем противоречие.

Случай 2: Пусть точка $D$ лежит вне окружности. Пусть $B_1$ – точка пересечения диагонали $BD$ с окружностью. Аналогично с предыдущим случаем имеем, что $\angle{BDC} = \dfrac{1}{2}\cdot \stackrel{\smile}{BC}$ . Также $\angle{DBC} = \dfrac{1}{2}\cdot \stackrel{\smile}{CB_1}$ и $\angle{BCB_1} = \dfrac{1}{2}\cdot \stackrel{\smile}{B_1B}$ , при этом $\angle{BCD} > \angle{BCB_1}$ . Получаем, что

\angle{BDC} + \angle{DBC} + \angle{BCD} = 180^{\circ} > \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{BC} + \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{CB_1} + \dfrac{1}{2}\stackrel{\smile}{B_1B} = 180^{\circ}.

Противоречие, значит, точка $D$ лежит на окружности.

3. Все углы прямоугольника равны $90^{\circ}$ , поэтому сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$ , то есть вокруг прямоугольника можно описать окружность.

Обратно, пусть параллелограмм $ABCD$ мы можем вписать в окружность. Мы знаем, что противоположные углы параллелограмма равны: $\angle{ABC} = \angle{ADC}$ . При этом, чтобы мы могли вписать его в окружность в сумме противоположные углы должны давать $180^{\circ}$ . Получаем, что $\angle{ABC} = \angle{ADC} = 90^{\circ}$ . То есть $ABCD$ – прямоугольник.

4. Ромб $ABCD$ является параллелограммом, а значит, вокруг него можно описать окружность тогда и только тогда, когда $ABCD$ – прямоугольник, при этом у $ABCD$ все стороны равны, а значит, $ABCD$ – квадрат.

5. В четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность, если $AB + CD = AD + BC$ . Так как в ромбе все стороны равны, то это равенство выполняется, а значит, в него можно вписать окружность.

6. Пусть $ABCD$ – ромб. Все стороны ромба равны, значит

AB + CD = AD + BC,

значит, в ромб $ABCD$ можно вписать окружность.

Обратно, пусть в параллелограмм $ABCD$ можно вписать окружность. Противоположные стороны параллелограмма равны. Если $AB = CD < BC = AD$ , то

$AB + CD < BC + AD$ . Аналогично, если $AB = CD > BC = AD$ , то $AB + CD > BC + AD$ . Значит, $AB = CD = BC = AD$ .

7. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому в него можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом. Но если прямоугольник – ромб, то этот прямоугольник является квадратом.