5 Свойства отношений и площадей

Свойства отношений и площадей

1. (Рельсы Евклида). Пусть у нас есть треугольник $ABC$ , $\ell$ – прямая параллельная $AC$ , проходящая через точку $B$ . Отметим на $\ell$ точку $B'$ . Тогда площади треугольников $ABC$ и $AB'C$ равны.
2. Площади треугольников с общей высотой относятся как длины оснований.
3. Площади треугольников с общим основанием относятся как высоты.
4. Отношение площадей треугольников с общим углом равно отношению произведений сторон, образующих общий угол.

5. Отношение площадей треугольников с одинаковым углом равно отношению произведений сторон, выходящих из этого угла.
6. Пусть на стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E$ , тогда $S_{CBE} = S_{ABE} + S_{CDE}.$

7. Пусть на стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ , на прямой $BM$ отмечена точка $E$ . Тогда если

S_{ABE} = S_{CBE},

то $BM$ – медиана.

Обратно, если $BM$ – медиана, то

S_{ABE} = S_{CBE}.

8. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ провели две прямые через середины противоположных сторон, тогда $ABCD$ разделился на четыре четырехугольника $S_1, S_2, S_3, S_4$ , так, что

S_1 + S_2 = S_3 + S_4.

9. Пусть $E$ – точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$ , тогда верно равенство:

S_{BEC}\cdot S_{AED} = S_{AEB}\cdot S_{DEC}.

10. Пусть внутри параллелограмма $ABCD$ отметили точку $F$ , тогда

S_{AFD} + S_{BFC} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}.

11. В четырехугольнике $ABCD$ разделим две противоположные стороны на $3$ равные части, тогда $ABCD$ разделится на три четырехугольника с площадями $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ так, что:

S_2 = \dfrac{1}{2}(S_1 + S_3).

Свойства отношений и площадей

1. Треугольники $ABC$ и $AB'C$ имеют общую сторону $AC$ . Так как $BB'$ и $AC$ параллельны, то высоты $BH$ и $B'H'$ равны. По формуле площади треугольника получаем:

S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AC\cdot BH = \dfrac{1}{2}AC\cdot B'H' = S_{AB'C}.

2. По формуле площади треугольника получаем:

S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH;\;\;\; S_{A'B'C} = \dfrac{1}{2}A'B'\cdot CH,

тогда

\dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C}} = \dfrac{AB}{A'B'}.

3. По формуле площади треугольника получаем:

S_{ABC} = \dfrac{1}{2}BH_1\cdot AC;\;\;\; S_{AB'C} = \dfrac{1}{2}B'H_2\cdot AC,

тогда

\dfrac{S_{ABC}}{S_{AB'C}} = \dfrac{BH_1}{B'H_2}.

4. Найдем площади треугольников $ABC$ и $AB'C'$ через синус угла:

S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin{\alpha};

S_{AB'C'} = \dfrac{1}{2}AB'\cdot AC'\cdot\sin{\alpha}.

Тогда:

\dfrac{S_{ABC}}{S_{AB'C'}} = \dfrac{AB\cdot AC}{AB'\cdot AC'}.

5. Найдем площади треугольников $ABC$ и $AB'C'$ через синус угла:

S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin{\alpha};

S_{AB'C'} = \dfrac{1}{2}AB'\cdot AC'\cdot\sin{\alpha}.

Тогда:

\dfrac{S_{ABC}}{S_{AB'C'}} = \dfrac{AB\cdot AC}{AB'\cdot AC'}.

6. Пусть $h$ – длина высоты $BH_1$ к стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ . $BH_1$ является высотой треугольника $ABE$ ; высоты $EH_2$ , $CH_3$ треугольников $BEC$ и $CED$ также равны $h$ .

Получаем по формуле площади треугольника:

S_{ABE} = \dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot h;\;\;\;S_{BEC} = \dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot h;\;\;\;S_{CED} = \dfrac{1}{2}\cdot ED\cdot h.

Тогда:

S_{ABE} + S_{CED} = \dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot h + \dfrac{1}{2}\cdot ED\cdot h = \dfrac{1}{2}\cdot (AE + ED)\cdot h = \dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot h = S_{BEC}.

7. Пусть $S_{ABE} = S_{CBE}$ , тогда по формуле площади треугольника через синус угла получаем:

S_{ABE} = \dfrac{1}{2}\cdot AE \cdot EB\cdot\sin{\alpha};\;\;\;S_{CBE} = \dfrac{1}{2}\cdot CE \cdot EB\cdot\sin{\beta}

S_{AEM} = \dfrac{1}{2}\cdot AE \cdot EM \cdot \sin{(180^{\circ} - \alpha)} = \dfrac{1}{2}\cdot AE \cdot EM \cdot \sin{\alpha};

S_{CEM} = \dfrac{1}{2}\cdot CE \cdot EM \cdot \sin{(180^{\circ} - \beta)} = \dfrac{1}{2}\cdot CE \cdot EM \cdot \sin{\beta};

Получаем:

\dfrac{S_{AEM}}{S_{CEM}} = \dfrac{AE\cdot\sin{\alpha}}{CE\cdot\sin{\beta}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot AE \cdot EB\cdot\sin{\alpha}}{\dfrac{1}{2}\cdot CE \cdot EB\cdot\sin{\beta}} = \dfrac{S_{ABE}}{S_{CBE}} = 1.

То есть $S_{AEM} = S_{CEM}$ , при этом треугольники $AEM$ и $CEM$ имеют общую высоту к сторонам $AM$ и $MC$ , значит $AM = MC$ .

Докажем обратное утверждение.

Пусть $BM$ – медиана треугольника $ABC$ , тогда $EM$ – медиана треугольника $AEC$ . Получаем, что $S_{ABM} = S_{CBM}$ и $S_{AEM} = S_{CEM}$ . Тогда

S_{ABE} = S_{ABM} - S_{AEM} = S_{CBM} - S_{CEM} = S_{CBE}.

8. Найдём площади треугольников $LME$ , $MNE$ , $NKE$ и $KLE$ :

S_{LME} = \dfrac{1}{2}\cdot LE \cdot EM\cdot\sin{\alpha};\;\;\;S_{MNE} = \dfrac{1}{2}\cdot ME \cdot EN\cdot\sin{(180^{\circ} - \alpha)}

S_{NKE} = \dfrac{1}{2}\cdot NE \cdot EK\cdot\sin{\alpha};\;\;\;S_{KLE} = \dfrac{1}{2}\cdot KE \cdot EL\cdot\sin{(180^{\circ} - \alpha)}.

Так как четырёхугольник $MNKL$ построен на серединах сторон четырёхугольника $ABCD$ , то $MNKL$ – параллелограмм, а значит диагонали $MNKL$ делятся точкой пересечения пополам, то есть $ME = EK$ , $NE = EL$ . Также $\sin{\alpha} = \sin{(180^{\circ} - \alpha)}$ , поэтому получаем, что

S_{LME} + S_{NKE} = \dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(LE \cdot EM + NE \cdot EK) = \dfrac{1}{2}\sin{\alpha}(NE\cdot EM + KE\cdot EL) = S_{MNE} + S_{KLE}.

Далее заметим, что треугольники $S_{MBN}$ и $S_{ABC}$ подобны с коэффициентом подобия $2$ , значит $S_{MBN} = \dfrac{1}{4}\cdot S_{ABC}$ . Аналогично получаем, что

S_{AML} = \dfrac{1}{4}\cdot S_{ABD};\;\;\; S_{CNK} = \dfrac{1}{4}\cdot S_{CBD};\;\;\; S_{DKL} = \dfrac{1}{4}\cdot S_{DAC}.

При этом

S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD};\;\;\; S_{ABD} + S_{BCD} = S_{ABCD},

значит

S_{AML} + S_{CNK} = S_{MBN} + S_{DKL} = \dfrac{1}{4}S_{ABCD}.

Окончательно получаем:

S_1 + S_3 = S_{MBN} + S_{MNE} + S_{DKL} + S_{KLE} = (S_{MNE} + S_{KLE}) + (S_{MBN} + S_{DKL}) =

= S_{LME} + S_{NKE} + S_{AML} + S_{CNK} = S_2 + S_4.

9. Пусть $\alpha = \angle{BEC}$ , тогда $\alpha = \angle{AED}$ ( $\angle{BEC}$ и $\angle{AED}$ равны как вертикальные углы) и $\angle{AEB} = \angle{DEC} = 180^{\circ} - \alpha$ (так как углы $\angle{BEC}$ и $\angle{DEC}$ являются смежными). Также мы знаем, что $\sin{\alpha} = \sin{(180^{\circ} - \alpha)}$ . Найдём площади треугольников:

S_{BEC} = \dfrac{1}{2}\cdot BE\cdot EC\cdot \sin{\alpha};\;\;\;S_{AED} = \dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot ED\cdot \sin{\alpha};

S_{AEB} = \dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot EB\cdot\sin{\alpha};\;\;\; S_{DEC} = \dfrac{1}{2}\cdot DE\cdot EC\cdot\sin{\alpha}.

Получаем:

S_{BEC}\cdot S_{AED} = \left(\dfrac{1}{2}\cdot BE\cdot EC\cdot\sin{\alpha}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot ED\cdot \sin{\alpha}\right) =

= \left(\dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot EB\cdot\sin{\alpha}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{2}\cdot CE\cdot ED\cdot\sin{\alpha}\right) = S_{AEB}\cdot S_{DEC}.

10. Через точку $F$ проведём отрезок $H_1H_2$ параллельно высоте $BH$ параллелограмма. $ABCD$ – параллелограмм, поэтому $AD = BC$ . Тогда получаем:

S_{BFC} = \dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot FH_1;\;\;\;S_{AFD} = \dfrac{1}{2}\cdot AD \cdot FH_2.

Получаем:

S_{BFC} + S_{AFD} = \dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot FH_1 + \dfrac{1}{2}\cdot AD \cdot FH_2 = \dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot (FH_1 + FH_2) = \dfrac{1}{2}\cdot AD \cdot BH = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}.

11. Рассмотрим случай, когда $AD$ и $BC$ параллельны. Пусть

x = \dfrac{1}{3}\cdot BC;\;\;\; y = \dfrac{1}{3}\cdot AD,

$h$ – высота четырехугольника к стороне $AD$ . Тогда

S_{ABB_1A_1} = S_{A_1B_1C_1D_1} = S_{D_1C_1CD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD} = \dfrac{(x + y)\cdot h}{2},

значит,

S_{A_1B_1C_1D_1} = \dfrac{1}{2}\left(S_{ABB_1A_1} + S_{D_1C_1CD}\right).

Теперь пусть $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$ . Пусть $\alpha = \angle{AMB}$ . Тогда:

S_{D_1C_1CD} = S_{MC_1D_1} - S_{MCD} = \dfrac{1}{2}(a + y)\cdot (b + x)\cdot\sin{\alpha} - \dfrac{1}{2}ab\cdot\sin{\alpha} =

= \dfrac{1}{2}(ax + by + xy)\cdot\sin{\alpha};

S_{A_1B_1C_1D_1} = S_{MB_1A_1} - S_{MC_1D_1} = \dfrac{1}{2}(a + 2y)\cdot (b + 2x)\cdot\sin{\alpha} - \dfrac{1}{2}(a + y)\cdot (b + x)\cdot\sin{\alpha} =

= \dfrac{1}{2}(ax + by + 3xy)\cdot\sin{\alpha};

S_{ABB_1A_1} = S_{MBA} - S_{MB_1A_1} = \dfrac{1}{2}(a + 3y)\cdot (b + 3x)\cdot \sin{\alpha} - \dfrac{1}{2}(a + 2y)\cdot (b + 2x)\cdot\sin{\alpha} =

= \dfrac{1}{2}(ax + by + 5xy)\sin{\alpha};

Отсюда получаем:

\dfrac{1}{2}\cdot\left(S_{ABB_1A_1} + S_{D_1C_1CD}\right) = \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}(ax + by + 5xy)\cdot\sin{\alpha} + \dfrac{1}{2}(ax + by + xy)\cdot \sin{\alpha}\right) =

= \dfrac{1}{2}(ax + by + 3xy)\cdot\sin{\alpha} = S_{A_1B_1C_1D_1}.