10 Основные четырёхугольники

Основные четырёхугольники

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.

1. Диагонали прямоугольника равны.

Ромбом называется параллелограмм у которого все стороны равны.

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

3. Диагонали ромба делят его углы пополам.

4. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ}$ , а противоположные углы равны.

Обратно: если в четырёхугольнике сумма любых двух соседних углов равна $180^{\circ}$ , то этот четырёхугольник является параллелограммом.

5. Если в четырёхугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

6. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

Обратно: если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

7. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

8. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

9. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Обратно: если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

10. Пусть в параллелограмме проведена биссектриса угла $D$ . Тогда треугольники $DCN$ , $NBK$ , $DAK$ – равнобедренные.

Дельтоидом называется четырёхугольник, у которого есть две пары равных соседних сторон.

11. Одна из диагоналей дельтоида является биссектрисой двух его углов.

12. Диагонали дельтоида перпендикулярны.

13. В дельтоид $ABCD$ можно вписать окружность. Если $AB = BC$ , $AD = DC$ и $O$ – центр вписанной окружности, то $CO = OA$ .
14. Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по $90^{\circ}$ .

Основные четырёхугольники

1. $ABCD$ – прямоугольник, следовательно, $AB = CD$ , $AD = BC$ и $\angle{BAD} = \angle{ADC}$ . Получаем, что треугольники $BAD$ и $ADC$ равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому $AC = BD$ .

2. Пусть $E$ – точка пересечений диагоналей ромба. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть $AE = EC$ и $BE = ED$ . Треугольник $ABC$ является равнобедренным, причём $BE$ – медиана треугольника $ABC$ , проведённая к основанию, а значит, она также является высотой, поэтому отрезок $BE$ перпендикулярен отрезку $AC$ , а значит, $BD$ перпендикулярен $AC$ .

3. Треугольники $ABC$ , $ABD$ , $ADC$ , $DCB$ являются равнобедренными, поэтому их медианы $BE$ , $AE$ , $DE$ и $CE$ также являются биссектрисами, а значит, $\angle{ABE} = \angle{CBE}$ , $\angle{BAE} = \angle{DAE}$ , $\angle{ADE} = \angle{CDE}$ и $\angle{BCE} = \angle{DCE}$ .

4. Углы $A$ и $B$ являются внутренними односторонними при параллельных прямых, поэтому $\angle{BAD} + \angle{ABC} = 180^{\circ}$ . По тем же причинам сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ}$ , в частности, верно, что $\angle{BAD} + \angle{ADC} = 180^{\circ}$ . А значит, $\angle{ADC} = 180^{\circ} - \angle{BAD} = \angle{ABC}$ . Аналогично получим, что $\angle{BAD} = \angle{BCD}$ .

Докажем обратное утверждение. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ сумма любых двух соседних углов равна $180^{\circ}$ . Тогда $\angle{BAD} + \angle{ABC} = 180^{\circ}$ , причём эти углы являются внутренними односторонними при прямых $BC$ , $AD$ и секущей $AB$ . Отсюда получаем, что отрезки $AD$ и $BC$ параллельны. Аналогично можем доказать, что параллельны отрезки $AB$ и $CD$ .

5. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что

\angle{DAB} + \angle{ABC} + \angle{BCD} + \angle{CDA} = 360^{\circ}.

Также мы знаем, что

\angle{DAB} = \angle{BCD}\; \text{и} \;\; \angle{ABC} = \angle{CDA}.

Отсюда следует, что

\angle{DAB} + \angle{ABC} = 180^{\circ}.

Аналогично, сумма других соседних углов также равна $180^{\circ}$ , а значит, $ABCD$ – параллелограмм.

6. Углы $\angle{BAC}$ и $\angle{ACD}$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых, поэтому $\angle{BAC} = \angle{ACD}$ . Аналогично доказываем, что $\angle{BCA} = \angle{CAD}$ . При этом сторона $AC$ является общей для этих треугольников, а значит, они равны по двум углам и стороне между ними. Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$ и $AD = BC$ .

Докажем обратное утверждение. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$ . Мы знаем, что $AB = CD$ и $BC = AD$ , при этом $AC$ – общая сторона для наших треугольников. Значит треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по трём сторонам, поэтому $\angle{BAC} = \angle{ACD}$ и $\angle{ACD} = \angle{BAC}$ , то есть отрезки $AB$ и $CD$ , $AD$ и $BC$ попарно параллельны.

7. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = CD$ , $AD = BC$ и $AC = BD$ . Тогда из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольники $ABD$ и $DCA$ равны. Причём $\angle{BAD} = \angle{ADC}$ , но по свойству параллелограмма верно, что

\angle{BAD} + \angle{ADC} = 180^{\circ},

значит $\angle{BAD} = \angle{ADC} = 90^{\circ}$ , поэтому $ABCD$ – прямоугольник.

8. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$ . $BC$ и $AD$ параллельны, а значит, $\angle{BCA} = \angle{CAD}$ . При этом $AD = BC$ и $AC$ – общая сторона для данных треугольников. Из этого следует, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AB = CD$ и, значит, в $ABCD$ противоположные стороны равны, то есть $ABCD$ – параллелограмм.

9. Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ . Рассмотрим треугольники $AOD$ и $COB$ . Углы $\angle{OAD}$ и $\angle{OCB}$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых, а значит, $\angle{OAD} = \angle{OCB}$ . По тем же причинам верно, что $\angle{OBC} = \angle{ODA}$ . В параллелограмме противоположные стороны равны, а значит, $AD = BC$ . Таким образом треугольники $AOD$ и $COB$ равны по двум углам и стороне между ними, поэтому $AO = OC$ и $BO = OD$ .

Докажем обратное утверждение. Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$ . Тогда $AO = OC$ и $BO = OD$ , а также $\angle{AOD} = \angle{BOC}$ , так как они являются вертикальными. Получаем, что треугольники $AOD$ и $COB$ равны по двум сторонам и углу между ними, значит, $AD = BC$ и $\angle{OAD} = \angle{OCB}$ . Таким образом, отрезки $AD$ и $BC$ параллельны и равны, то есть $ABCD$ – параллелограмм.

10. Заметим, что $\angle{ADN} = \angle{DNC}$ , так как данные углы являются накрест лежащими. То есть $\angle{DNC} = \angle{NDC}$ , значит, треугольник $DCN$ является равнобедренным.

Углы $BNK$ и $DNC$ равны, так как являются вертикальными. $\angle{NDC} = \angle{AKN}$ , так как данные углы являются накрест лежащими. Значит,

\angle{AKD} = \angle{ADK} = \angle{BNK}

и треугольники $NBK$ и $DAK$ являются равнобедренными.

11. Пусть $ABCD$ – дельтоид, причём $BC = AB$ и $AD = CD$ . Рассмотрим треугольники $BCD$ и $BAD$ . Сторона $BD$ является общей для этих треугольников, а значит, они равны по трём сторонам. Отсюда получаем, что $\angle{CBD} = \angle{DBA}$ и $\angle{ADB} = \angle{CDB}$ .

12. Пусть $E$ – точка пересечения диагоналей дельтоида. Тогда $BE$ и $DE$ – биссектрисы равнобедренных треугольников $BAC$ и $DAC$ соответственно. Эти биссектрисы проведены к основаниям равнобедренных треугольников, а значит, они также являются высотами.

13. Центр вписанной в дельтоид окружности лежит на биссектрисе угла $\angle{B}$ , то есть $\angle{CBO} = \angle{ABO}$ . Рассмотрим треугольники $CBO$ и $ABO$ . $AB = BC$ и $BO$ – общая сторона для этих треугольников. Тогда получаем, что данные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, $CO = OA$ .

14. Пусть вокруг дельтоида $ABCD$ можно описать окружность, причём $AB = BC$ и $AD = CD$ . Рассмотрим треугольники $BCD$ и $BAD$ . Сторона $BD$ является общей для этих треугольников, а значит, они равны по трём сторонам, значит, $\angle{BCD} = \angle{BAD}$ . Так как вокруг данного дельтоида можно описать окружность, то $\angle{BCD} + \angle{BAD} = 180^{\circ}$ , но тогда $\angle{BCD} = \angle{BAD} = 90^{\circ}$ .

Обратно, если у дельтоида $ABCD$ $\angle{BCD} = \angle{BAD} = 90^{\circ}$ , то $\angle{BCD} + \angle{BAD} = 180^{\circ}$ , значит, вокруг дельтоида можно описать окружность.