3 Свойства логарифмов

Свойства логарифмов

Чтобы успешно использовать на практике операцию логарифмирования, нужно изучить её основные свойства:

Пусть $a>0$ , $b>0$ , $c>0$ , $d>0$ и $a\neq 1$ , а $m$ и $n$ — произвольные действительные числа, тогда

$\boldsymbol{\log_a{1}=0}$	$\boldsymbol{\log_a{b^n}=n\log_{a}{b}}$	$\boldsymbol{\log_a{b}+\log_a{c}=\log_{a}{\left(b\cdot c \right)}}$	$\boldsymbol{a^{\log_a{b}}=b}$
$\boldsymbol{\log_a{a}=1}$	$\boldsymbol{\log_{a^m}{b}=\dfrac{1}{m}{\log_{a}{b}}}$	$\boldsymbol{\log_a{b}-\log_a{c}=\log_{a}{\left(\dfrac{b}{c}\right)}}$	$\boldsymbol{\log_c{b}=\dfrac{1}{\log_b{c}}}$
$\boldsymbol{\log_a{a^n}=n}$	$\boldsymbol{\log_{a^n}{b^n}=\log_{a}{b}}$	$\boldsymbol{\log_c{a}\cdot\log_a{b}=\log_c{b}}$	$\boldsymbol{\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}=\log_a{b}}$
$\boldsymbol{\log_a{\dfrac{1}{a}}=-1}$	$\boldsymbol{\log_{a^m}{b^n}=\dfrac{n}{m}{\log_{a}{b}}}$	$\boldsymbol{\log_a{b}\cdot\log_d{c}=\log_a{c}\cdot\log_d{b}}$	$\boldsymbol{c^{\log_a{b}}=b^{\log_{a}{c}}}$

Замечание. Помимо указанных над таблицей ограничений на переменные, в отдельных формулах могут потребоваться дополнительные. Все они сразу следуют из определений логарифма и арифметических операций. Пожалуйста, при использовании формул всегда следите за существованием всех входящих в них функций.

Свойство 1:

\boldsymbol{\log_a{1}=0}

$\blacktriangleright$ Пример. Вычислите $\log_7{1}$ .

Решение:

Зададимся вопросом, в какую степень нужно возвести $7$ , чтобы получить $1$ ? То есть найдем такое $c$ , что $7^{c}=1$ . Это $c=0$ , значит, логарифм $\log_7{1}=0$ .

Можно сказать, что при любом допустимом основании логарифма, если мы ищем логарифм по этому основанию от $1$ , значение логарифма будет равняться $0$ .

Свойство 2:

\boldsymbol{\log_a{a}=1}

$\blacktriangleright$ Пример. Вычислите $\log_3{3}$ .

Решение:

Зададимся вопросом, в какую степень нужно возвести $3$ , чтобы получить $3$ ? То есть найдем такое $c$ , что $3^{c}=3$ . Это $c=1$ , тогда логарифм $\log_3{3}=1$ .

Можно сказать, что если число в основании и число, от которого берётся логарифм, равны ( $a=b$ ), значение логарифма будет равняться $1$ .

Свойство 3:

\boldsymbol{\log_a{a^n}=n}

$\blacktriangleright$ Пример: Вычислите $\log_4{4^2}$ .

Решение:

Зададимся вопросом, в какую степень нужно возвести $4$ , чтобы получить $4^2$ ? То есть найдем такое $c$ , что $4^{c}=4^2$ . Это $c=2$ , тогда логарифм $\log_4{4^2}=2$ .

Можно сказать, что если мы берем логарифм от некоторого числа $a$ в степени $n$ и основанием логарифма тоже является число $a$ , то такой логарифм равен числу $n$ .

Свойство 4:

\boldsymbol{\log_a\left(\dfrac{1}{a}\right)=-1}

$\blacktriangleright$ Пример. Вычислите $\log_2{\dfrac{1}{2}}$ .

Решение:

Зададимся вопросом, в какую степень нужно возвести $2$ , чтобы получить $\dfrac{1}{2}$ ? Вспомним, что $\dfrac{1}{2}=2^{-1}$ . То есть найдем такое $c$ , что $2^{c}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2^c=2^{-1}$ . Это $c=-1$ , тогда логарифм

\log_2{\dfrac{1}{2}}=-1.

Дальнейшие свойства мы сформулируем без пояснений.

Свойство 5:

\boldsymbol{\log_{a}{b^n}=n\log_a{b}}

$\blacktriangleright$ Пример. Вычислите $\log_4{16^{10}}$ .

Решение:

Используя указанное выше свойство, получаем: $\log_4{16^{10}}=10\log_4{16}=10\cdot2=20$ .

Примечание. Логарифм выше мы, конечно же, могли вычислить и без всяких свойств, но с ними все-таки удобнее.

Свойство 6:

\boldsymbol{\log_{a^m}{b}=\dfrac{1}{m}\log_a{b}}

$\blacktriangleright$ Примеры:

Вычислите:

$\log_9{27}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: $\log_9{27}=\log_{3^2}{27}= \dfrac{1}{2}\log_{3}{27}=\dfrac{1}{2}\cdot 3=\dfrac{3}{2}$ .
$\log_{4^2}{4}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: $\log_{4^2}{4}=\dfrac{1}{2}\log_4{4}=\dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac{1}{2}$ .
$\log_2{\sqrt{2}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: $\log_2{\sqrt{2}}=\log_{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac{1}{2}$ .

Свойство 7:

\boldsymbol{\log_{a^n}{b^n}=\log_a{b}}

$\blacktriangleright$ Примеры:

Вычислите:

$\log_{49^2}{7^2}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: $\log_{49^2}{7^2}=\log_{49}{7}=\log_{7^2}{7}=\dfrac{1}{2}\log_{7}{7}=\dfrac{1}{2}$ .
$\log_{\sqrt{343}}{\sqrt{7}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим:
$\log_{\sqrt{343}}{\sqrt{7}}=\log_{{343}^\frac{1}{2}}{{7}^\frac{1}{2}}=\log_{343}{7} =\log_{7^3}{7}=\dfrac{1}{3}\log_{7}{7}=\dfrac{1}{3}\cdot 1=\dfrac{1}{3}.$

Здесь мы воспользовались тем, что $\log_{a^n}{b}=\dfrac{1}{n}\log_a{b}.$
$\log_{4}{25}-\log_{8}{125}$ .
Решение:
Используя наше свойство, упростим сначала первый логарифм, а затем второй:
$\log_{4}{25}=\log_{2^2}{5^2}=\log_2{5}$ ,
$\log_{8}{125}=\log_{2^3}{5^3}=\log_{2}{5}$ .
Теперь вычислим:
$\log_{4}{25}-\log_{8}{125}=\log_{2}{5}-\log_{2}{5}=0$ .

Свойство 8:

\boldsymbol{\log_{a^m}{b^n}=\dfrac{n}{m}\log_a{b}}

$\blacktriangleright$ Примеры:

Вычислите:

$\log_{3^{15}}{27^8}$ .
Решение:
Преобразуем наше выражение:
$\log_{3^{15}}{27^8}=\dfrac{8}{15}\log_3{27}=\dfrac{8}{15}\cdot 3=\dfrac{8}{5}=1,6.$
$\log_{\sqrt{3}}{\dfrac{1}{27}}$ .
Решение:
Преобразуем наше выражение:
$\log_{\sqrt{3}}{\dfrac{1}{27}}=\log_{3^{\frac{1}{2}}}{3^{-3}}=-\dfrac{3}{\frac{1}{2}}\cdot \log_{3}{3}= -3\cdot 2\cdot 1=-6.$
$\log_{4}{64\sqrt{2}}$ .
Решение:
Преобразуем наше выражение:
$\log_{4}{64\sqrt{2}}=\log_{2^2}{(2^{6}\cdot 2^{\frac{1}{2}})}=\log_{2^2}{2^{6+\frac{1}{2}}}=\log_{2^2}{2^{\frac{13}{2}}}= \dfrac{\frac{13}{2}}{ 2}\log_{2}{2} =\dfrac{13}{2\cdot 2}\log_{2}{2}=\dfrac{13}{4}\cdot 1=\dfrac{13}{4}.$

Свойство 9:

\boldsymbol{a^{\log_a{b}}=b}\,\, -\,\, \text{основное логарифмическое тождество}

$\blacktriangleright$ Примеры:

Вычислите:

$e^{\log_e{8}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: $e^{\log_e{8}}=8.$
$2^{3+\log_2{9}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: $2^{3+\log_2{9}}=2^{3}\cdot 2^{\log_2{9}}=8\cdot 9=72.$
Здесь мы пользовались тем, что $a^{n+m}=a^n\cdot a^m.$
$13^{\log_{13}{4}-2}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: $\dfrac{13^{\log_{13}{4}}}{13^2}=\dfrac{4}{169}.$
Здесь мы пользовались тем, что $a^{n-m}=\dfrac{a^n}{a^m}.$
$8^{2\log_{8}{3}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: $8^{2\log_{8}{3}}=\left(8^{\log_{8}{3}}\right)^2=3^2=9.$
Здесь мы пользовались тем, что $a^{nm}=\left(a^m\right)^n=\left(a^n\right)^m.$
Покажем ещё один вариант решения:
$8^{2\log_8{3}}=8^{\log_8{3^2}}=8^{\log_8{9}}=9.$
Здесь мы воспользовались тем, что $n\log_a{b}=\log_a{b^n}.$
$\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим:
$\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}\right)^2=13^2=169.$
Здесь мы пользовались тем, что $a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$ .
Покажем ещё один вариант решения:
$\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2\log_{\frac{1}{3}}{13}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}{169}}=169.$
Здесь мы воспользовались тем, что $n\log_a{b}=\log_a{b^n}.$
$25^{\frac{1}{4}\log_5{9}}$ .
Используя свойство, вычислим:
$25^{\frac{1}{4}\log_5{9}}=(5^2)^{\frac{1}{4}\cdot \log_5{3^2}}=5^{2\cdot \frac{1}{4}\cdot 2 \cdot \log_5{3}}=5^{4\cdot \frac{1}{4}\cdot \log_5{3}}=5^{\frac{4}{4}\cdot \log_5{3}}=5^{\log_5{3}}=3.$
Здесь мы пользовались:
$\log_a{b^n}=n\log_a{b}\,\, (\text{здесь} \,\, b>0),$ $(a^{m})^n=(a^n)^m=a^{mn}.$

Свойство 10:

\boldsymbol{c^{\log_a{b}}=b^{\log_a{c}}}

$\blacktriangleright$ Пример: Вычислите: $9^{\log_3{8}}$ .

Решение:

Используя наше свойство, вычислим: $9^{\log_3{8}}=8^{\log_3{9}}=8^{2}=64.$

Свойство 11:

\boldsymbol{\log_a{b}+\log_a{c} = \log_a(b\cdot c)}

$\blacktriangleright$ Примеры:

Вычислите $\log_{6}{2}+\log_6{3}$ .
Решение:
Преобразуем наше выражение: $\log_{6}{2}+\log_{6}{3}=\log_6{2\cdot3}=\log_6{6}=1.$
Вычислите $\log_{12}{2}+\log_{12}{8}+\log_{12}{9}.$
Решение:
Преобразуем наше выражение: $\log_{12}{2}+\log_{12}{8}+\log_{12}{9}=\log_{12}{(2\cdot 8\cdot 9)}=\log_{12}{144}=2.$

Свойство 12:

\boldsymbol{\log_a{b}-\log_a{c}=\log_a\left(\dfrac{b}{c}\right)}

$\blacktriangleright$ Примеры:

Вычислите: $\log_8{\dfrac{1}{16}}-\log_8{32}.$
Решение:
Преобразуем наше выражение:
$\log_8{\dfrac{1}{16}}-\log_8{32}=\log_8{\dfrac{\frac{1}{16}}{32}}=\log_8{\dfrac{1}{512}}=\log_8{8^{-3}}=-3.$
Вычислите: $\lg{34}-\lg{2}-\lg{170}.$
Решение:
Преобразуем наше выражение:
$\lg{34}-\lg{2}-\lg{170}=\lg{\dfrac{34}{2}}-\lg{170}=\lg{17}-\lg{170}=\lg{\dfrac{17}{170}}=\lg{\dfrac{1}{10}}=\lg{10^{-1}}=-1.$
Можно было преобразовать разность в одно действие:
$\lg{34}-\lg{2}-\lg{170}=\lg\left({\dfrac{34}{2\cdot170}}\right)=\lg{\dfrac{1}{10}}=\lg{10^{-1}}=-1.$

Свойство 13:

\boldsymbol{\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}=\log_a{b}}\,\, -\,\, \text{переход к новому основанию}

$\blacktriangleright$ Примеры:

Вычислите:

$\dfrac{\log_3{8}}{\log_3{16}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, перейдём к новому основанию:
$\dfrac{\log_3{8}}{\log_3{16}}=\log_{16}{8}=\log_{2^4}{2^3}=\dfrac{3}{4}\log_2{2}=\dfrac{3}{4}.$
$\dfrac{\log_9{4}+\log_9{36}}{\log_9{12}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, перейдём к новому основанию:
$\dfrac{\log_9{4}+\log_9{36}}{\log_9{12}}=\dfrac{\log_9{(4\cdot 36)}}{\log_9{12}}=\dfrac{\log_9{144}}{\log_9{12}}=\log_{12}{144}=2.$
Примечание. Здесь воспользовались тем, что $\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{(b\cdot c)}.$
$\dfrac{\lg{8}+\lg{18}}{2\lg{2}+\lg{3}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, перейдём к новому основанию:
$\dfrac{\lg{(8\cdot 18)}}{\lg{2^2}+\lg{3}}=\dfrac{\lg{144}}{\lg{(4\cdot 3)}}=\dfrac{\lg{144}}{\lg{12}}=\log_{12}{144}=2.$
Примечание. Здесь воспользовались тем, что
$\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{(b\cdot c)},$ $n\log_a{b}=\log_a{b^n}.$

Свойство 14:

\boldsymbol{\log_c{b}=\dfrac{1}{\log_b{c}}}

$\blacktriangleright$ Примеры:

Найдите $\log_{\sqrt{8}}{2}$ , если известно, что $\log_2{\sqrt{8}}=\dfrac{3}{2}$ .
Решение:
$\log_{\sqrt{8}}{2}=\dfrac{1}{\log_2{\sqrt{8}}}=\dfrac{2}{3}$ .
Вычислите $5^{\frac{1}{\log_6{5}}}$
Решение:
Используя наше свойство, получаем:
$5^{\frac{1}{\log_6{5}}} = 5^{{\log_5{6}}}=6.$
Вычислите $25^{\frac{1}{\log_6{5}}}-49^{\frac{1}{\log_8{7}}}$ .
Решение:
Используя наше свойство, получаем:
$25^{\frac{1}{\log_6{5}}}-49^{\frac{1}{\log_8{7}}}=25^{\log_5{6}}-49^{\log_7{8}}=(5^2)^{\log_5{6}}-(7^2)^{\log_7{8}}=5^{2\log_5{6}}-7^{2\log_7{8}}=5^{\log_5{6^2}}-\\-7^{\log_7{8^2}}=5^{\log_5{36}}-7^{\log_7{64}}=36-64=-28.$
Здесь мы пользовались тем, что
$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m,$ $n\log_a{b}=\log_a{b^n}.$
Вычислите $3^{-\frac{4}{\log_2{3}}}+5^{\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}{5}}}.$
Решение:
Используя наше свойство, получаем:
$3^{-\frac{4}{\log_2{3}}}+5^{\frac{3}{\log_{\sqrt[3]{3}}{5}}}=3^{-4\log_3{2}}+5^{3\log_5{\sqrt[3]{3}}}=3^{\log_3{2^{-4}}}+5^{\log_5{(\sqrt[3]{3})^3}}=2^{-4}+(\sqrt[3]{3})^3=\dfrac{1}{2^4}+3=\\=\dfrac{1}{16}+3=\dfrac{49}{16}.$
Здесь мы пользовались тем, что:
$n\log_a{b}=\log_a{b^n}.$
Вычислите $(2^{\log_7{5}})^{\log_5{7}}.$
Решение:
Используя наше свойство, получаем:
$(2^{\log_7{5}})^{\log_5{7}}=2^{\log_5{7}\cdot \log_7{5}}=2^{\log_5{7}\cdot \frac{1}{\log_5{7}}}=2^1=2.$
Здесь мы пользовались тем, что
$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m.$

Свойство 15:

\boldsymbol{\log_c{a} \cdot \log_a{b}=\log_c{b}}\,\, -\,\, \text{<<свёртка>>.}

Совпадение аргумента одного логарифма с основанием другого.

$\blacktriangleright$ Примеры:

Вычислите

$\log_{7}{9}\cdot\log_{3}{7}$ .
Решение:
Используя наше свойство, вычислим: $\log_{7}{9}\cdot\log_{3}{7}=\log_3{7}\cdot \log_7{9}=\log_{3}{9}=2.$
$\log_3{2}\cdot \log_4{3}\cdot \log_5{4}\cdot \log_6{5}\cdot \log_7{6}\cdot \log_8{7}$ .
Решение:
Перепишем наше выражение в более удобном виде и используем наше свойство:
$\log_3{2}\cdot \log_4{3}\cdot \log_5{4}\cdot \log_6{5}\cdot \log_7{6}\cdot \log_8{7}=\log_8{7}\cdot \log_7{6}\cdot \log_{6}{5}\cdot \log_5{4}\cdot \log_4{3}\cdot \log_3{2}=$
$=\log_8{6}\cdot \log_6{5}\cdot \log_5{4}\cdot \log_4{3}\cdot \log_3{2}=\log_8{5}\cdot \log_5{4}\cdot \log_4{3}\cdot \log_3{2}=\log_8{4}\cdot \log_4{3}\cdot \log_3{2}=$
$=\log_8{3}\cdot \log_3{2}=\log_8{2}=\frac{1}{3}.$

Свойство 16:

\boldsymbol{\log_a{b}\cdot \log_d{c}=\log_a{c}\cdot \log_d{b}}

$\blacktriangleright$ Примеры.

Вычислите $\log_{3}{\dfrac{1}{8}}\cdot \log_{2}{27}$ .
Решение:
Преобразуем наше выражение:
$\log_{3}{\dfrac{1}{8}}\cdot \log_{2}{27}=\log_{2}{\dfrac{1}{8}}\cdot\log_{3}{27}=\log_{2}{2^{-3}}\cdot\log_{3}{3^{3}}=-3\cdot3=-9.$
Вычислите $\log_{0,8}{3}\cdot \log_3{1,25}$ .
Решение:
Преобразуем наше выражение:
$\log_{0,8}{3}\cdot \log_3{1,25}=\log_{0,8}{1,25}\cdot \log_3{3}=\log_{\frac{4}{5}}{\dfrac{5}{4}}=-1.$