6 Простейшие логарифмические уравнения

Простейшие логарифмические уравнения

Стандартное решение логарифмического уравнения состоит из двух частей: работы с ОДЗ (областью допустимых значений переменной $x$ ) и преобразования самого уравнения. Начнём с первой части. Как определять ОДЗ?

Рассмотрим логарифмическую функцию:

y=\log_{a}{x}, \,\,\text{где} \begin{cases} x>0, \\ a>0, &\text{ --- это $D(y)$, область определения функции.}\\ a\neq1.\\ \end{cases}

Для нахождения ОДЗ уравнения необходимо найти области определения всех входящих в него функций и пересечь их.

$\blacktriangleright$ Примеры к Задаче 1 на нахождение ОДЗ.

Найти область определения функции
$y=\log_5{3x}.$
Решение:
Для нахождения области определения функции проверим выполнение трех условий.
$y=\log_{a}{f(x)}, \,\,\ D(y): \begin{cases} f(x)>0, \\ a>0, \\ a\neq1.\\ \end{cases}$
Второе и третье условия выполнены, так как $a=5, 5>0$ и $5\neq 1$ , значит, остаётся записать первое условие $3x>0.$ В итоге получаем $x>0,$ то есть $D(y):x>0$ .
Найти область определения функции
$y=\log_{\frac{1}{2}}{\left(6-7x\right)}.$
Решение:
Будем проверять выполнение трёх условий для того, чтобы найти область определения. Второе и третье условия выполнены, так как $a={\dfrac{1}{2}}, \dfrac{1}{2}>0, \dfrac{1}{2}\neq 1.$ Запишем первое условие $6-7x>0,$ получаем $x<\dfrac{6}{7}.$ Тогда ответом является $D(y):x\in\left(-\infty;\dfrac{6}{7}\right).$
Найти область определения функции
$y=\log_7{\left(x^2-9\right)}.$
Решение:
Аналогично предыдущим примерам, проверяем условия для нахождения области определения: $a=7, 7>0, 7\neq1$ и аргумент логарифма должен быть положительным $x^2-9>0,$ следовательно $\left(x-3\right)\cdot\left(x+3\right)>0,$ то есть $D(y):x\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(3;+\infty\right).$
Найти область определения функции
$y=\log_{10-x}{12}.$
Решение:
Первое условие выполнено, так как $12>0.$ Второе и третье условия должны выполняться одновременно:
$\begin{cases} 10-x>0, \\ 10-x\neq 1; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -x>-10, \\ -x\neq 1-10; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x<10, \\ x\neq 9; \end{cases} \Leftrightarrow D(y): x \in (-\infty; 9)\cup(9;10).$
Найти область определения функции
$y=\log_{x+1}{(2-x)}.$
Решение:
В данном примере и основание, и аргумент содержат переменную $x$ , поэтому запишем полную систему неравенств:
$\begin{cases} 2-x>0, \\ x+1\neq 1, \\ x+1>0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x<2, \\ x\neq 0, \\ x>-1; \end{cases} \Leftrightarrow D(y): x \in (-1; 0)\cup(0;2).$

$\blacktriangleright$ Задача 2. Примеры.

Решить уравнение
$\log_{5}\left(17-x\right)=\log_{5}3.$
Решение:
Запишем ОДЗ: $17-x>0$ , следовательно, $x<17.$ Перейдем к решению уравнения. Так как основания логарифмов одинаковые, то можем их опустить:
$\log_{5}\left(17-x\right)=\log_{5}3 \Longrightarrow 17-x=3 \Longrightarrow x=17-3=14.$
Заметим, что $x=14$ удовлетворяет ОДЗ, так как $14<17.$ Значит, 14 — корень.
Примечание: Если просто отбросить логарифмы в обеих частях решенного выше уравнения, то получим равенство их аргументов $17-x=3$ . Мы знаем, что аргументы логарифмов должны быть положительны. В правой части 3, т.е. положительное число, а значит и $17-x$ будет больше нуля и все найденные корни уравнения нам подходят. В данном случае проверка избыточна. НО: никогда не отбрасывайте логарифмы без внимательного анализа ОДЗ, если бы вместо 3 в правой части было бы отрицательное число, то игнорирование ОДЗ привело бы к неправильному решению!
Решить уравнение
$\log_{6}\left(x+5\right)=\log_{6}\left(2x-8\right).$
Решение:
В уравнении несколько логарифмов с разными аргументами, поэтому начнём решение с записи области допустимых значений (ОДЗ) переменной уравнения.
Аргументы всех логарифмов уравнения должны быть положительными, следовательно, $x+5>0$ и $2x-8>0,$ а значит $x>-5$ и $x>4$ и получим, что $x>4$ , это и есть ОДЗ.
Вернёмся к уравнению $\log_{6}\left(x+5\right)=\log_{6}\left(2x-8\right).$
Так как основания логарифмов одинаковые, то можем их опустить:
$\log_{6}\left(x+5\right)=\log_{6}\left(2x-8\right) \Longrightarrow x+5=2x-8 \Longrightarrow x=13.$
Заметим, что $x=13$ удовлетворяет ОДЗ, т.к. $13>4.$ Значит, 13 — корень.
Примечание: В отличие от первого примера, во втором "отбрасывание" логарифмов приводит к равенству двух выражений с переменной, а следовательно, мы не можем судить об их знаке, поэтому возникает необходимость записать ОДЗ.

$\blacktriangleright$ Задача 3. Примеры. Решить уравнение

\log_{7}\left(15-2x\right)=2\log_{7}3.

Решение: Вспомним, что $n\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}$ :

\log_{7}\left(15-2x\right)=2\log_{7}3 \Longrightarrow \log_{7}\left(15-2x\right)=\log_7{3^2}.

Основания логарифмов одинаковые, поэтому можем их опустить:

\log_{7}\left(15-2x\right)=\log_7{3^2} \Longrightarrow 15-2x=9 \Longrightarrow 2x=6 \Longrightarrow x=3.

$\blacktriangleright$ Задача 4. Примеры.

Решить уравнение
$\log_{6}\left(-11x-8\right)=2.$
Решение:
В левой части уравнения логарифм по основанию 6, а справа число 2. Представим число 2 также в виде логарифма по основанию 6.
Выполним преобразования $2=2 \cdot 1=2 \cdot \log_{6}6=\log_{6}6^2=\log_{6}36$ .
Тогда уравнение можно переписать в виде
$\log_{6}\left(-11x-8\right)=\log_{6}36.$
Так как основания логарифмов одинаковые, то можем их опустить. Получим
$\log_{6}\left(-11x-8\right)=\log_{6}36 \Longrightarrow -11x-8=36 \Longrightarrow -11x=44 \Longrightarrow x=-4.$
В этом примере "отбрасывание" логарифмов приводит к равенству двух выражений, одно из которых 36, следовательно, не будет посторонних корней. Единственный корень уравнения равен $-4$ .

$\blacktriangleright$ Задача 5. Примеры.

Решить уравнение
$\log_5 \left(2 +5x\right)=\log_5 \left(1 -5x\right) +1$
Решение:
В уравнении несколько логарифмов с разными аргументами, поэтому начнём решение с записи ОДЗ. Аргументы всех логарифмов уравнения должны быть положительными, следовательно,
$\begin{cases} 2+5x>0, \\ 1-5x>0; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5x>-2, \\ 5x<1; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x>-0,4, \\ x<0,2; \end{cases} \Leftrightarrow x \in (-0,4; 0,2).$
Вернёмся к уравнению. Представим $1$ в виде $\log_5{5}$ . Тогда
$\log_5 \left(2 +5x\right)=\log_5 \left(1 -5x\right) + \log_5{5} .$
Воспользуемся свойством $\log_a{b}+\log_a{c}=\log_a{(b\cdot c)}$ и получим
$\log_5 \left(2 +5x\right)=\log_5 {\left(\left(1 -5x\right)\cdot 5\right)}.$
Основания логарифмов одинаковые, поэтому можем их опустить:
$2+5x=(1-5x)\cdot 5 \Longrightarrow 2+5x=5-25x \Longrightarrow 30x=3 \Longrightarrow x=\dfrac{3}{30}=\dfrac{1}{10}=0,1.$
Проверим ОДЗ: $0,1 \in (-0,4; 0,2)$ , следовательно, $0,1$ — корень уравнения.
Решить уравнение
$\log_{16} 2 ^ {4x+6} = 3.$
Решение:
Преобразуем сначала левую часть уравнения
$\log_{16} 2 ^ {4x+6}=\log_{2^4}{2^{4x+6}}.$
Воспользуемся свойством $\log_{a^{n}}{a^{m}}=\dfrac{m}{n}\log_{a}{a}=\dfrac{m}{n}:$
$\log_{2^4}{2^{4x+6}}=\dfrac{4x+6}{4}\log_2{2}=\dfrac{2x+3}{2}.$
Подставим полученное выражение в уравнение, получим
$\dfrac{2x+3}{2}=3 \Longrightarrow 2x+3=6 \Longrightarrow x=\dfrac{3}{2}=1,5.$
Решить уравнение
$3^{\log_{27}{(7x-6)}}=8.$
Решение:
Преобразуем левую часть уравнения
$3^{\log_{27}{(7x-6)}}=3^{\log_{3^3}{(7x-6)}}=3^{\frac{1}{3}\log_3{(7x-6)}}=3^{\log_3{(7x-6)^{\frac{1}{3}}}}.$
Тогда получим
$3^{\log_3{(7x-6)^{\frac{1}{3}}}}=8.$
Из тождества $a^{\log_a{b}}=b$ получаем:
$(7x-6)^{\frac{1}{3}}=8.$
Возводим обе части в 3 степень:
$\left((7x-6)^{\frac{1}{3}}\right)^3=8^3,$ $7x-6=512 \Longrightarrow 7x=518 \Longrightarrow x=74.$

$\blacktriangleright$ Задача 6. Примеры.

Решить уравнение ${\log_{x-1} 16=2}$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

1 способ.
Запишем ОДЗ. Заметим, что в основании логарифма есть переменная $x$ , следовательно, $x>1$ и $x \neq 2.$
Представим уравнение ${\log_{x-1} 16=2}$ в виде $(x-1)^2=16$ (воспользовались определением логарифма). Тогда, раскрыв квадрат по формуле квадрата разности и приведя подобные, получим

(x-1)^2=16 \Longrightarrow x^2-2x-15=0,

D=2^2-4\cdot 1 \cdot(-15)=64=8^2,

x_1=5, x_2=-3.

Проверим ОДЗ:
1) $x_1=5$ : $5>1$ и $5 \neq 2,$ следовательно, $5$ — корень.
2) $x_2=-3$ : $-3>1$ — неверно, следовательно, $-3$ — не является корнем.
Единственный корень уравнения равен 5.

2 способ.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства логарифма:
${\log_{x-1} 16=\log_{x-1} 4^2=2 \cdot\log_{x-1} 4.}$ Вернёмся к исходному уравнению, разделим обе его части на 2, получим

\log_{x-1} 16=2 \Longrightarrow 2 \cdot \log_{x-1} 4=2\Longrightarrow \log_{x-1} 4=1.

Используя определение логарифма, представим уравнение в виде

\log_{x-1} 4=1\Longrightarrow (x-1)^1=4 \Longrightarrow x-1=4 \Longrightarrow x=5.