7 Базовые логарифмические неравенства

Базовые логарифмические неравенства

Решение неравенств во многом похоже на решение уравнений и по сути состоит из тех же двух этапов: нахождение ОДЗ и преобразования неравенства. Однако есть очень существенное отличие — необходимо следить за знаком самого неравенства при ''отбрасывании'' логарифмов.

Напомним, что логарифмическая функция возрастает при $a>1$ и убывает — при $0<a<1$ . Поэтому если вы отбрасываете логарифм с основанием больше 1, то знак неравенства не меняется; в противном случае — меняется на противоположный (''>'' на ''<''; ''<'' на ''>''; '' $\le$ '' на '' $\ge$ ''; '' $\ge$ '' на '' $\le$ ''). Схематично это можно описать так:

если $a > 0$ , $b > 0$ и $c > 1$ , то

\log_c{b} > \log_c{a} \Longleftrightarrow b > a.

если $a > 0$ , $b > 0$ и $0 < c < 1$ , то

\log_c{b} > \log_c{a} \Longleftrightarrow b < a.

Решите неравенство
$\log_{3}\left(25-x\right)>\log_{3}7.$
Решение:
Запишем ОДЗ: $25-x>0$ , следовательно, $x<25.$ Перейдем к решению неравенства. Так как основания логарифмов одинаковые и равны $3>1$ , то логарифмическая функция возрастает, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$\log_{3}\left(25-x\right)>\log_{3}7 \Longrightarrow 25-x>7 \Longrightarrow -x>-18 \Longrightarrow x<18.$
С учётом ОДЗ ( $x<25$ ) получаем окончательный ответ: $x<18$ , то есть $x\in(-\infty;\,18)$ .
Решите неравенство
$\log_{\frac{1}{2}}\left(3x+5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(x+13\right).$
Решение:
Запишем ОДЗ: $3x+5>0$ и $x+13>0,$ а значит $x>-\frac{5}{3}$ и $x>-13$ , следовательно, $x>-\frac{5}{3}$ .
Вернёмся к неравенству $\log_{\frac{1}{2}}\left(3x+5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(x+13\right).$
Так как основания логарифмов одинаковые и равны $\frac{1}{2}<1$ , то функция убывает, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$\log_{\frac{1}{2}}\left(3x+5\right)>\log_{\frac{1}{2}}\left(x+13\right) \Longrightarrow 3x+5<x+13 \Longrightarrow 2x<8 \Longrightarrow x<4.$
С учётом ОДЗ ( $x>-\frac{5}{3}$ ) получаем ответ: $-\frac{5}{3}<x<4$ , то есть $x\in\left(-\frac{5}{3};\,4\right)$ .
Решите неравенство
$\log_{8}\left(x+12\right)\le \log_{8}\left(3x-6\right).$
Решение:
Запишем ОДЗ: $x+12>0$ и $3x-6>0,$ а значит $x>-12$ и $x>2$ , следовательно, $x>2$ .
Так как основания логарифмов одинаковые и равны $8>1$ , то функция возрастает, знак неравенства сохраняется:
$\log_{8}\left(x+12\right)\le \log_{8}\left(3x-6\right) \Longrightarrow x+12\le 3x-6 \Longrightarrow -2x\le -18 \Longrightarrow x\ge 9.$
С учётом ОДЗ ( $x>2$ ) получаем ответ: $x\ge 9$ , то есть $x\in[9;\,+\infty)$ .

$\blacktriangleright$ Задача 2. Пример. Решите неравенство

\log_{5}\left(23-3x\right)<3\log_{5}2.

Решение: Вспомним, что $n\log_{a}{b}=\log_{a}{b^n}$ :

\log_{5}\left(23-3x\right)<3\log_{5}2 \Longrightarrow \log_{5}\left(23-3x\right)<\log_5{2^3}=\log_5{8}.

Основания логарифмов одинаковые и равны $5>1$ , поэтому знак неравенства сохраняется:

\log_{5}\left(23-3x\right)<\log_5{8} \Longrightarrow 23-3x<8 \Longrightarrow -3x<-15 \Longrightarrow x>5.

Проверим ОДЗ: $23-3x>0 \Longrightarrow -3x>-23 \Longrightarrow x<\frac{23}{3}.$ С учётом ОДЗ получаем ответ: $5<x<\frac{23}{3}$ , то есть $x\in\left(5;\,\frac{23}{3}\right)$ .

$\blacktriangleright$ Задача 3. Пример. Решите неравенство

\log_{10}\left(13x+9\right)<1.

Решение:

В левой части неравенства логарифм по основанию 10, а справа число 1. Представим число 1 также в виде логарифма по основанию 10.

Выполним преобразования $1=1 \cdot 1=1 \cdot \log_{10}10=\log_{10}10^1=\log_{10}10$ .

Тогда неравенство можно переписать в виде

\log_{10}\left(13x+9\right)<\log_{10}10.

Так как основания логарифмов одинаковые и $10>1$ , то знак неравенства сохраняется. Получим

\log_{10}\left(13x+9\right)<\log_{10}10 \Longrightarrow 13x+9<10 \Longrightarrow 13x<1 \Longrightarrow x<\frac{1}{13}.

Проверим ОДЗ: $13x+9>0 \Longrightarrow 13x>-9 \Longrightarrow x>-\frac{9}{13}$ . С учётом ОДЗ получаем: $-\frac{9}{13}<x<\frac{1}{13}$ , то есть $x\in\left(-\frac{9}{13};\,\frac{1}{13}\right)$ .